断复变函数的可导性和解析性作为函数研究里的重要组成部分，能判断函数孤立奇点的类型就是为计算留数提供了一个好的铺垫文章主要对如何判别是哪种孤立奇点给出几种比较简单的方法

    如果函数的孤立奇点为，那么在点去心邻域中可以展开为洛朗级数

称非负幂部分是在点的正则部分，负幂部分是在点的主要部分

    设是的奇点，并且存在，得那么我们就称

    定 理 函数的孤立奇点是的可去奇点在点的主要部分是零在点的某个去心邻域中有界

    定 理 函数的孤立奇点是的阶极点在点的主要部分是有限多项，设成在点的某个去心邻域里可以表示成，其中在点内解析，并且。一阶极点也被称作是单极点

    定 理　函数的孤立奇点是的本质奇点在点的主要部分内有限多项，即不存在

2孤立奇点的判别方法

2。1有限孤立奇点

    设函数，为复平面上的解析函数记，很明显使，的一切点都是函数的奇点以下就探讨孤立奇点的种种情况

    定理 若为的级零点，而且，则是的级极点

 　 例 求函数的有限孤立奇点，并且判断它的类别

     解  ，，为函数的有限孤立奇点因为，，分别为函数的一级零点和四级零点，因此和，分别为函数的一级极点和四级极点

    例  判别函数的有限奇点的类别

    解  为函数的一级零点，在当的时候，函数，因此为函数的一级极点

当为的级零点，的级零点，则文献综述

在的时候，是的可去奇点

在的时候，是的级极点

    证明  若是的级零点，的级零点，则根据零点的定义，存在函数，使得

               ，

当中函数，在点解析，而且，因此

在时，

在<时，

因此当的时候，存在，是的可去奇点

在>的时候，

记做，则在点解析而且，由极点的定义可知，是的级极点

　　例 在复平面上求解函数的奇点并且判断它的类别

解  因为为函数的四级零点，函数的的一级零点，因此为函数的三级极点

 2。2 无穷远点

    在扩充的复平面上有一个独一无二的无穷远点，它为任意一个复变函数的奇点。当函数在的去心邻域<里解析，那么称是函数的孤立奇点，做变换为，则，因此函数在无穷远点的性态可以转化成函数在处的性态

　　例  在扩充的复平面上求函数的孤立奇点，并判断它的类型

    解  ，与都为一级极点。令，因此，

为的一级极点，因此为的一级极点

2。3定义法判别孤立奇点的类型

    我们根据孤立奇点的定义，仅仅需要将函数在处洛朗级数展开，并且找出负幂次项的个数是多少

    例如0分别为，和的可去奇点，简单奇点以及本性奇点

经常用于洛朗级数的展开的函数：

2。4用极限法判别孤立奇点的类型

   　设是的孤立奇点，因此我们可以根据以下极限值来判别出孤立奇点的类别

　　注 求解极限时一般用洛必达法则。用极限法判别极点不能证明阶数

现在来列举以下判别方法：