摘  要：本文应用有限元法分析了任意截面形状波导的本征值，对场域的剖分采用了线性(一阶)单元，编制了一个通用的计算机程序，对几种不同尺寸的矩形波导的TE模和TM模的特征值进行了计算，其结果与解析解基本吻合，证明了本文有限元方法的正确性。59080

毕业论文关键词  有限元法、变分法、波导、特征值

Abstract：In this paper, the finite element method is used for analysis of the eigenvalue of arbitrarily shaped waveguide,The linear unit is used to distribute the field domain. To show the validity of the method ,a computer program is developed and a group of rectangular waveguide eigenvalue of TE and TM mode are computed, The results well agree with the data of analysis.

Key words: Finite element method  variational method  waveguide   eigenvalue  

1 引言 4

2 波导本征值问题的有限元分析 4

2.1 剖分和编号 5

2.2 插值和单元分析 5

2.3 综合 7

3 计算实例 9

结  语 10

参考文献 11

致  谢 12

1 引言

计算机的出现和发展，使大型数值计算成为可能。为数值计算方法提供了有效的运算工具，同时也促进了计算电磁学的发展，有限元法作为一种常用的数值计算方法已被广泛应用于物理和工程设计等许多领域，相对于经典电磁学而言,数值方法几乎不再受限于边界的约束,能解决各种类型的复杂问题，经过几十年世界各国学者的研究和发展,计算电磁学已成为现阶段电磁理论的主要组成部分。

有限元法是基于虚功原理或变分原理之上，吸收差分格式的思想发展起来的。用有限元法求解电磁学问题并不直接去求解场的微分方程，而是求解其对应的变分问题，具体求解时将所关心的场域剖分为有限个单元，然后由插值函数表示每个单元的未知场量，而插值函数即包括着每个单元的各节点处的未知场量；再将各单元的插值函数取能量泛函的极值，得到一组代数方程组——总体有限元方程；用直接法或迭代法求解总体有限元方程便得到场域各节点的未知场量。从数学角度讲有限元法是从变分原理或加权残数出发，通过区域剖分和分片插值把数理方程的边值问题转化为等价的一组多元线性代数方程的求解。源[自*优尔^`论/文'网·www.youerw.com/

本文首先给出了应用有限元法求解任意截面形状波导本征值问题的一般方法，然后编制了一个通用的计算机程序对几种不同尺寸的矩型波导的TE波和TM波的本征值进行了计算，并和解析解进行了比较，其结果基本一致。

2 波导本征值问题的有限元分析

下面就一个任意截面形状的波导传播问题来说明其处理方法。波在波导中传播时满足亥姆霍兹方程

边界条件：TE波： ,   

TM波：                                (2-2)

其中 为波导的边界， 为边界的外法线方向。

其等效泛函为  （2-3）

相应变分问题         （2-4）

2.1 剖分和编号

对于二维区域问题，单元上形状有任意性，但常用的是三角形、矩形等。本文中采用三角形剖分。在剖分时应注意如下几点：（a）各单元只能以顶点相交；（b）边界是曲线时，可用折线来近似；（c）每个单元顶点的编号按逆时针方向进行，编号依次为 。