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3.1 连续小波变换
， 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为： (3-1)
或用内积形式： (3-2)
式中
要使逆变换存在， 要满足允许性条件：
(3-3)
式中 是 的傅里叶变换。
这时，逆变换为
(3-4)
这个常数限制了能作为“基小波（或母小波）”的属于 的函数 的类，尤其是若还要求 是一个窗函数，那么 还必须属于 ，即
故 是R中的一个连续函数。由式(8.2-3)可得 在原点必定为零，即
(3-5)
从式(3-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。
连续小波变换具有如下性质：
（1）线性； 设 ，则： 。
（2）平移不变性； 若 ，则：
平移不变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。
（3）伸缩共变性；
若 ，则：
，其中c>0。
（4）冗余性；
连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数 存在许多可能的选择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。
3.2连续小波变换的离散化
由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量a ，b进行何散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取 ，这时， ，常简写为： 。
变换形式为：
为了能重构信号 ，要求 是 的Riesz基。
一个函数 称为一个R函数，如果 在下述意义上是一个Risez基： 的线性张成在 中是稠密的，并且存在正常数A与B， ，使
对所有二重双无限平方可和序列 成立，即对于 的 成立。
假定 是一个R函数，那么存在 的一个唯一的Riesz基 ，它在意义
上与 对偶。这时，每个 有如式(3-6)的唯一级数表示：
(3-6)
特别地，若 构成 的规范正交基时，有
重构公式为： (3-7)
连续小波变换中的伸缩因子和平移因子都是连续变化的实数，在应用中需要计算连续积分，在处理数字信号时很不方便，主要用于理论分析与论证。在实际问题中的数值计算采用离散形式，即离散小波变换（DWT）。DWT可以通过离散化CWT中的伸缩因子a和平移因子b得到。通常取
带入式子(3-7) (3-8)
中可以得到
(3-9)
上式的小波函数就是离散小波，相应的离散小波变换为：
(3-10)
特殊的，取 ，可得到二进小波：
(3-11)
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