2.2  分形的定义   

分形，fractal，由曼德尔布罗特1975年提出。人们尝试着给出分形的定义，比如，曼德尔布罗特在《自然界的分形几何》中这样描述分形[9]：”A fractal is by definition a set for which the Hansdorff-Besicoritch strictly exceed the topological dimension”，但这个定义忽略了某些维数为整数的分形集，于是曼德尔布罗特又这样定义到[10]“A fractal is shape made of parts similar to the whole in some way”，即分形是指物体的某种自相似性。分形理论是研究自然中不规则但自相似的物体，自相似顾名思义就是指所描述的对象几何上的相似性，举例来讲，比如说人类的手，不论它的大小、颜色怎样变化，我们都能认得出这是一只手。然而，此定义仍有一些分形集没有包括在其中，所以直到现在，人们仍然无法确切地说出什么是分形。虽然我们无法用确切的语言定义分形的概念，但可以通过分形的三大要素来从侧面理解分形的概念。分形包含形、机遇和维数三大要素，这三大要素分别反映了分形体的不规则性、随机性和相似性，其中，Mandelbrot觉得分形维数是三者中最能描述集合的不规则性的。说起分形中的分形维数，首先让我们来回顾一下欧氏几何中直线，平面，空间所分别对应的一维二维三维，我们很容易能发现欧式几何中的维数全部都是整数的，起初，人们认为分形中的分形维数度与欧氏几何中的维数类似，只不过是含有小数的。但是后来科学家们发现，对于海岸线长度的测量，如果简单的按照欧式几何中的正比关系随意选取测量尺度，则会发现海岸线的长度将是不确定值。海岸线的长度与测量标尺间的关系与分形维数是有内在联系的，即欧氏几何中的维数与分形中的分形维数度之间，除了整数与小数的区别，还有逻辑关系的区别，这涉及到测量尺度的选取，关于分维数与测量尺度的关系将在下节具体介绍。