ANSYS弹塑性梁受冲击时的动力特性研究(5)
自由振动的振型，振型用 来表示，并且 与特征值 相对应。
由弹性振动理论，知道振型函数存在正交性，也就是
，当
因此，可以把梁的运动按照自振振型来展开，用下列级数来表示梁的挠度，即
（1-10）
式中， 表示时间 的函数， 表示振型函数为
（1-11）
根据上式，可以得到
（1-12）
将式（1-10）代入式（1-1），也就是梁在弹性相的运动方程式，得到
（1-13）
而
（1-14）
可以求出
（1-15）
将式（1-14）代入（1-13），得到
（1-16）
由初始条件来确定积分常数，就可以得到梁的弹性振动规律。
当梁内的最大弯矩值达到梁的极限弯矩值时，梁内就会在截面处形成塑性铰，此时梁的第二相运动开始。
设极限弯矩为 ，第二相运动开始的时刻为 ， 也表示梁第一相运动结束的时刻。当 时，
梁内在某个截面处会形成塑性铰，设这个截面的坐标为
这也是弯矩的极值点。
所以可以确定 和 的条件，即
} (1-17)
由材料力学知在 时， 处，剪力等于0.
运动速度为
（1-18）
挠度为
（1-19）
式（1-18）和式（1-19）也是梁第二相运动的初始条件。
在第二相运动中，虽然梁上出现了塑性铰，从全梁来看不属于弹性，但是不看塑性铰，其它部分都还是处于弹性阶段，因此可以参照第一相的方法，用分离变量法来解，梁的挠度可以用下式来表示，即