困难。所以我们在本研究中使用一个形式为 Ae

的基组，这样的基组为高斯基组。高斯

基组在计算的过程中的数学性质十分良好，并且有外加磁场的情况下，其指数项的 r 2 可以

在外加磁场的情况下在柱坐标系内分解成 2 z2 （其中 是径向坐标， z 是横向坐标）。 可以通过 和 z 的系数来反映磁场对于电子云的具体影响，然而高斯型函数在图像的端点

r=0 处，导数为 0，与斯莱特基组不同。由于高斯型函数在 r=0 处的不足，我们使用多个高

斯型函数进行线性组合，以组合获得的新函数作为基函数参与计算以使其他区域的差异尽可 能的小。使用多个高斯基去表示一个斯莱特基，一方面可以较好地模拟原子轨道波函数的形 态，另一方面可以利用高斯型函数在数学上的良好性质，简化计算。不同的高斯函数就组成

了一个基组，由于形式一致，仅仅是系数 α 的不同，所以后文均用{1 n

基组。

}表示一个高斯

1。2 所用的计算方法 按照经典粒子的能量表达式：并做如下替换：

薛定谔方程普遍的表示是

H 为体系的哈密顿算符，当其不显含 t 时，体系的能量是守恒量，此时不含时薛定谔方程，

即能量本征方程为：

自此，求粒子波函数以及粒子的能量的问题就转化成了求能量本征方程的本征函数以及 本征值的问题。在外界没有磁场的情况下，一个粒子在势场的情况，Hamilton 算符的表示形 式为

而对于无磁场情况下的粒子波函数用高斯基组去展开可以表示成

在以某一高斯基组（ i ）为基矢量的表象中：

ci 为展开系数（Coefficients），此时能量本征方程可以写成如下：做一定的变换之后而波函数 φ 则可以表示为列矢量：

综上所述，在给定高斯基组的情况下，我们可以通过解出上述矩阵的本征值以及本征矢 量的方法来同时确定一个粒子的波函数展开以及它的能量，我们可以使用计算机来解决这个 问题。不同的外在势场的哈密顿量不同，对于外界有磁场的情况下有多种计算方法，本文采 取的是 Hartree-Fock 计算方法，在下文会有介绍。

1。3 外加磁场之后 由于外加了磁场之后，电子所受到的力不再是一个中心力场。由于磁场的影响，电子云

不再是一个球形，而是在垂直磁场的方向上受到压缩的程度比平行磁场要大，此时 Ae

式 的高 斯基 就不再 适合， 我们 可以 利用柱 坐标下 公式将 替 换成 

所提到的高斯基组的优势，可以反映出磁场对电子分布在两个方向上不同的影响。当径向和 法向的指数系数相等，就代表电子云形状是一个各向同性的球形，回归到球坐标系下的高斯 基。所以在外界有磁场影响的情况下，原先的基组变成为

自此，如何确定一组高斯基组的工作就转化为如何去确定一组 j 和 j 的值，在 1999

年，由 Jones，Ortiz，Ceperley 三人所提出的均匀退火高斯基组（Even-temperd Gaussian（s

采用了非常简便的方法，具体来说用

其中 a ， b ， a’ ， b’ 都 为常数 ， Schmidt   和 Ruedenburg   推 荐使用 的 值 是

a=0。3243,a’=-3。6920,b=-0。4250,b’=0。9280， Nb 是所需要的基组的大小（Basis Size）。在转化 到有磁场的情况时，简单的令

其中 Nb 为基组的大小，f 为一个常数，也就是说j 和 j 有着固定的比例关系，通常情

况下 f 取 1，2，4，8……。在使用 f=1、2、4、等多个序列后，就导致基组长度变得很大， 但是能够得到较精确的结果。之前也有 Kravchenko and Liberman 等人提出了类似的