激光在人类牙齿中激发超声的数值模拟(6)
2.1.2 声表面波的势函数和传播速度[29]
声表面波是在固体中出现的，其振幅随离表面深度的增加而迅速衰减。下面主要介绍声表面波的一些基本性质。
固体中的声波方程为：
其中： ，
假定仅限于讨论（x, z）二文平面问题，并取自由表面在对 的地方，设解为：
很明显，这种解的形式具有表面传播的特性，当离表面足够深(即当x足够大时)，
和 都趋于零。将式(2.1.4)和式(2.1.5)代入声波方程，从中确定声波方程应
遵循如下关系:
这里， ，其中 为声面波的速度。引入符号g和q，可得关系：
用此关系可将（2.1.6）（2.1.7）化为： （2.1.11）
假设固体的表面与真空状态相接触，而在真空中不存在应力，于是根据应力平衡条件在固体表面的应力应等于零，也即在x=0处有：
也可以用势函数来表示： （2.1.15）
由此将：（2.1.4），（2.1.5）代入上式，整理可得到：
如果 与 为非零解，那上式的系数行列式应等于零，即:
由此可得到以下方程： （2.1.19）
利用(2.1.6)(2.1.7)式,(2.1.19)式化为:
根据上述，从代数方程(2.1.20)可以求得声表面波的传播速度 。由于这三次方程还包含一个参数q，因而不易获得解析形式的解，需要用图解法。可以指出，按照图解法的结果，当q在0.5-0的范围内(即泊松比 在0-0.5范围)，可以从方程(2.1.20)解得三个实根，其中两个实根大于1，另一个实根小于1。对于大于l的两个根显然不合要求。因为这时式(2.1.11)中的 成为了虚数，所以势函数(2.1.4)、(2.1.5)式就变成向固体深处(在x和z二方向)传播的体波形式。考虑到大多数的固体的泊松比小于0.5，因此由方程(2.1.20)可以求得唯一的声表面波速度为:
(2.1.21)
由于g<1，所以，可以肯定在固体中声表面波速度恒小于体横波速度。设有一固体 ,则 ，经代数因式分解方程，方程可以表示成如下形式：
（2.1.22）
解得满足要求的根：
因此在这种情况下声表面波速度就等于：
（2.1.23）
2.2 激光超声的热弹机制
当物体受外力的作用，又受温度的作用时，物体内就要发生位移和相应的。对一个由于热传导而产应变生变形的物体，热弹性行为由4个平衡方程和3个本构方程来描述。平衡方程：
1. 应变张量： （2.1）
2. 质量守恒： （2.2）
式中： 为未变形时的材料密度， 为变形后的材料密度。
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