激光在人类牙齿中激发超声的数值模拟(7)
3.动量守恒： ， （2.3）
4能量守恒：
（2.4）
式中： 表示位移场分量； 表示应变张量； 表示Piola-Kirchoff二阶应力张量； 表示Kronecker符号； 和 分别表示初始状态和形变后的质量密度； 表示热流矢量； 表示外力矢量；W和Q分别表示初始能量和热源；T表示绝对温度； 表示熵能密度。
方程（2.1-2.4）遵守热力学第二定律，按照熵增加原理有：
式中：H=W-T 是Helmhotz’s自由能。
当仅产生微小的形变时，应力应变张量中的非线性项和线性项相比较可以忽略不计，这样平衡方程可以简化为：
式中:Cauchy应变张量 和 分别代替原方程中的 和 ; 表示参考温度。再经过数学推导,本构方程可简化如下形式:
式中: 是弹性模量张量; 是热耦合张量, 是热传导张量; 是温度的增量; 是定容热容量。
联合方程(2.10)-(2.11)消去 得到下列能量方程:
将方程(2.10)中的 求空间微分代入(2.8)得到运动方程。
对于各向同性材料,本构方程可简化成:
式中: 是热弹耦合常数; 和 是拉梅常数; 是材料的热膨胀系数.所以,对于各向同性材料的热弹耦合方程可表示为:
如果不存在外界体力和内部热源,热弹性方程可进一步简化为:
式中:T和U分别表示温度和位移矢量。
热弹性问题的严格求解就是把方程(2.15)和(2.16)作为耦合方程来求解。方程(2.17)是抛物线型方程，能量是通过热传导方式进行传递。方程(2.18)是双曲线型方程，所描述的机械运动以有限的速度由作用源向外传递。位移场和温度场是通过 系数耦合起来，且耦合的强弱由 的大小来控制。
以上详细讨论了经典热弹性耦合理论，对于已知的热物理参数和力学参数的材料，给定的边界条件和初始条件，在材料中激光超声的产生和传播的物理过程由方程(2.17)和(2.18)来描述。可是，结合边界条件方程的解析求解是十分困难，对复杂的几何形状和边界条件，解析求解甚至不可能。而采用有限元数值计算方法可以解决这个难题。
2.3 有限元方法
2.3.1 有限元方法简介
直接从边值问题和初始条件出发求解数理方程在很多物理理论和工程实际问题中通常难于找到解析解，而有限元方法是求解数理方程的一种非常有效的数值计算方法。其求解过程主要包括以下几步：
一、结构的离散化，将一个求解域(通常表示一个结构或连续体)离散成若干个域(单元)，并通过它们边界上的节点(或称为结点)相互联结成为组合体。
二、用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解区域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在各节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(通常为矩阵形式)。由于在联结相邻单元的节点上场函数应具有相同的数值，因此将它们用作数值求解的基本未知量，从而把求解原来场函数的无穷文自由度问题转化为求解场函数节点值的有限文自由度问题。
三、通过和原问题数学模型(包括基本方程、边界条件)等效的变分原理或者加权余数法，建立求解基本未知量的代数方程组或者常微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范化的矩阵形式。然后用数值方法求解此方程组，得到所求问题的数值解。
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