2.1  反应扩散模型 

最初苏联化学家Belousov和生物学家Zhabotinsky[2]在化学反应中发现了螺旋波。系统处于一定条件下，会出现美丽的螺旋花纹，有些花纹以螺旋状向外旋转，有些会以同心圆形式向外扩散。所以对于螺旋波的研究最初建立反应扩散模型。反应扩散模型是用偏微分方程的形式描述

其中，x,y表示反应物的浓度；f(x,y),g(x,y)表示体系的非线性动力学函数；Dx，Dy是扩散系数； 是拉普拉斯算符； 为一小量，使x,y方向具有不同的时间尺度，是体现系统的可激发性的一个重要量度。求解偏微分方程，当f(x,y)=0,g(x,y)=0时有唯一稳定均匀解。

数值求解偏微分方程，计算的结果成功的给出化学反应系统中的螺旋波。反应扩散模型可以描绘化学反应中螺旋波的动力学特征，可以研究螺旋波波长、周期、波速，以及螺旋波尖端轨迹和波的稳定性等一些波的特征。

2.2  FHN模型

1952年，Hodgkin和Huxley提出了关于波在乌贼神经中传播的数学模型离子模型[3]。在此基础上1962年Noble提出应用于心脏组织的模型，即Noble模型[4]。采用离子模型研究心脏组织，可以给出心脏组织的一些基本性质，如心脏组织细胞的离子密度的动力学变化，回归性质等等。但离子模型存在很大缺陷，它只适合模拟单一的心肌组织，而真实的心肌组织是复杂多样的，由成千上万的心脏细胞组成。另外，离子模型在很多重要问题上的模拟结果不尽如人意，如心脏中的再入性心动过速问题。

在激发介质中研究螺旋波更有效的是采用FitzHugh-Nagumo模型[5]，与简单二变量模型相比多了扩散项。

它能有效的用于研究二维、三维的心脏组织，并且在定性描述心脏组织激发传播方面取得很大成功。但对于心脏组织中的如搏动潜在期、回归性质等几个定量参数模拟并不很理想。由于存在这些问题，后来巴克利[6]又对该模型进行了改良和创建了新的模型。

经常被用来模拟一个二维激发介质。该模型的最大特点是很容易在计算机上模拟，运行速度相对于其他模型较快。

2.3  心肌组织模型

由于心肌组织细胞的多样性，以及FHN模型等的局限性，20世纪末， Alexandre Panflov和Hogeweg提出心肌组织模型[7]。

研究者发现人的正常心脏只有一个信号源，不断发射行波和耙波。若病人心脏上有一块心肌损伤，那么心肌就会出现两个缺陷点，从而形成两个螺旋波中心。当螺旋波失稳后，便产生心颤。

2.4  元胞自动机

研究激发介质中的螺旋波建立的偏微分模型均包含着许多不可能从实验中测得的参量，同时数值计算的工作量巨大。现代计算机的迅速发展，使我们可以借助于计算机来模拟实际系统。目前，计算机模拟斑图动力学，主要采用分子动力学、Monte Carlo模拟及元胞自动机的方法。特别是元胞自动机在许多领域都有着广泛的运用，其优点在于省去了用偏微分方程作为过渡而直接通过制定规则来模拟非线性物理现象。元胞自动机[8]是一种时间和空间都离散的动力学系统。空间被分割为若干个网格单元，每个单元称为元胞，元胞初始的物理状态是系统局域可能存在的状态中的其中一种。在网格中，根据系统演化的过程我们可以给定元胞的演化规则，即元胞自身和它的近邻元胞的状态将决定元胞下一个时间步的状态。在离散的时间步内，扫描网格上所有的元胞，获得新的状态，使得整个系统的状态发生变化。

3 介质缺陷对螺旋波的影响

介质的异质性对螺旋波动力学影响很大，在均匀介质中可能会出现一些介质缺陷，如异质颗粒，常常观察到螺旋波被缺陷吸引或排斥，螺旋波破碎。不同性质不同形状不同分布的异质性结构对螺旋波演化的影响也不同的。本论文主要考虑在不均匀介质中出现螺旋波，以及圆形缺陷，线形缺陷，分形缺陷下异质性对螺旋波的影响。