摘要本文分为三部分，第一部分是第一章主要介绍了量子纠缠的定义、成就及意义。 第二部分是第二章和第三章分别借助共生纠缠度，研究推广 Jaynes-Cummings 模型中 两二能级运动原子在大失谐和共振情况下纠缠的时间演化和有限温度下系统的热纠 缠。第三部分是结论。79840

研究结果表明，在大失谐和共振情况下，腔场中两原子展现出周期性的纠缠演化 规律，演化周期随原子偶极-偶极的相互作用强度的增大而减小；在有限温度下，系统 的共生纠缠度随温度的升高而降低，当趋近临界温度时系统地纠缠现象消失。着重讨 论了在大失谐下临界温度，发现这一温度与原子偶极-偶极相互作用强度和腔场结构函 数有关。对于本文所给模拟参量，临界温度在 10-7 数量级。

毕业论文关键字： Jaynes-Cummings  模型； 纠缠态； 热纠缠；共生纠缠度

Abstract This paper is pided into three parts。 The first part is the first chapter, which mainly presents the definition, achievement and significance of quantum entanglement。  The second part is the second and third chapters, which investigate time evolution of two-level motive atom’s entanglement and the thermal entanglement in the case of large detuning and the case of resonance at finite temperature in a generalized Jaynes-Cummings model in terms of concurrence。 The third part is the conclusion of the paper。

The result shows whether under large detuning or resonance, the two-atom entanglement appears periodically, which decreases as dipole-dipole coupling between the two atoms grows。 At a finite temperature, the concurrence decreases with increasing temperature, and the thermal entanglement vanishes in this Jaynes-Cummings model when the system temperature reaches the critical temperature。 It is found that the critical temperature is related to the dipole-dipole coupling strength of the two atoms and the function of the cavity field。 For the parameters taken in this paper, the critical  temperature is on the order of 10-7 K。

Keywords: Jaynes-Cummings model; entangled state; thermal entanglement; concurrence

目 录

第一章 绪论 1

1。1 量子纠缠的定义 1

1。2  量子成就 1

1。3  复量子纠缠研究意义 2

1。4  本文研究内容 2

第二章  相互作用运动原子在大失谐情况下的热纠缠 3

2。1  模型与理论推导 3

2。2  有效 Hamiltionian 矩阵元的计算和热纠缠现象 4

2。3  计算机模拟 10

第三章  相互作用运动原子在共振情况下的热纠缠 17

3。1  理论推导 17

3。2  热纠缠现象 18

3。3  计算机模拟 22

结论 24

致谢 25

参考文献 26

第一章 绪论

1。1 量子纠缠的定义

一个独立的微观体系 A，其状态一定可以用一个纯态来完备的描述。但如果考虑它 和环境 B 有互相影响，这些难以避免的直接（或间接）的相互作用将会导致 A 和 B 状 态之间的量子纠缠。量子纠缠的概念和术语是由薛定谔于 1935 年首次引入量子力学， 并称其为“量子力学的精髓”[1]。量子纠缠（quantum entanglement），又翻译为量子 缠结，指的是两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典的强关联，是一种量子力 学现象，它是描述复合系统的一种特殊的量子态，这种量子态即纠缠态，在任何系统 中都无法分解为子系统各量子态的张量积（tensor product）。论文网

1。2 量子成就

100 多年来，量子理论取得了巨大的进展和成功，但之前它与计算机科学、信息理

论是不同领域并没有任何交集，没有人注意到他们之间的联系和交叉，到了 1982 年这 一切改变了，Beniof 和 Feynman 发现量子力学系统与推理计算有一定的联系，1985 年 Deutsch 提出第一个量子计算模型，由此量子计算（Quantum Computation）更多的展 现在人们眼前，已经成为一门学科，特别是近年来由 Grover 提出的量子查询算法 [2][3] 和 Shor 提出的质数分解算法，他们对传统算法实现了近乎指数级的改进，更是极大地 推动了该领域的发展。量子计算机、量子通讯以及量子编码为代表的量子信息科学的 出现，使研究人员意识到信息理论、计算机科学和量子物理学之间存在着某种联系。 传统物理意义上的计算与量子计算有本质的区别，子计算的特点主要体现在量子态的 叠加（Superposition）和纠缠（Entanglement）上，许多计算上的优势如量子并（Quantum parallelism）、量子非局限性（Non-locality）、量子隐形传输（Teleportation） 等皆是由此而产生[25]。通过对比量子隐形传态与经典通信，我们可以惊奇的发现：1） 由量子纠缠态的非局域关联性可得：量子信息传递不需要知道接收方的位置。2）量子 信息传递不受任何障碍所阻挡，而量子隐形态称为量子态的超空间传送。3）量子信息 的传递速度由量子态的塌缩速度决定的，因为坍塌速度超光速所以量子信息传递是超 光速的 4）原物信息的传递仍需经典信道，而经典信道上信息的传递速度不会超过光速， 故原物信息的传递速度不会超过光速[26]。

从 1991 纠缠态的量子加密协议到实验的出现这一过程，纠缠态的理论研究已经有 了长足的发展。研究人员开始把纠缠态这一特性应用到计算机领域的计算科学中，这 二者相辅相成互补长短，量子信息科学推动了纠缠态理论研究，纠缠态为信息传输、 处理提供了物理理论支持[26]。多年以来，量子纠缠态逐渐被人们深入理解，取得了长 足的进展。有许多基本问题，如纠缠与非定义性的物理本质等，人们目前还没有找到 更好的解决办法[5]。纠缠现象不光出现在单一态中，还在混合态中有所体现。量子计算 和量子通讯这两个方向上，混合态中的量子纠缠更具有实际意义[6]。

1。3 量子纠缠研究意义

两个粒子之间的距离无论远近，一个粒子的变化都受到另一个粒子影响，这就是 量子纠缠。用两颗速率相同方向相反的匀速运动电子为例，一个在地球，一个在月球， 距离如此遥远，两个电子仍存在关联性（correlation）；一个突然被改变了状态，另一 个马上就会产生相应的变化。这种情况，仿佛两个粒子存在超光速，这一现象好像不 符合爱因斯坦狭义相对论。[7] 阿尔伯特-爱因斯坦与波里斯·波多斯基、纳森·罗森于 1935 年发表爱波罗悖论（EPR paradox）来质疑量子力学的完备性正式由于这一原因。 量子纠缠的研究非常有必要，研究人员令一个量子比特产生变化来诱导另一个量子比 特也产生变化。远距离原子之间的相互联系是新型计算机的一个重要基础，未来的量 子计算机将能完成电子计算机无法完成的工作，而且能够实现安全的数据通信[27]。

1。4 本文研究内容

利用量子力学处理与电磁场相互作用的二能级原子间的热纠缠时间演化，任何 量 子 系 统 不 可 避 免 与 周 围 环 境 发 生 相 互 作 用 ， 本 文 就 是 用 量 子 论 ， 借 助 Jaynes-Cummings 模型，分别在大失谐和共振情况下，研究了含两全同二能级运动原子 与场相互作用的纠缠。

第二章 相互作用运动原子在大失谐情况下的热纠缠

Jaynes-Cummings 模型是辐射场与物质相互作用的一个最重要、最基本的理论模 型，它成功的处理了单个二能级原子与单模辐射场的相互作用，得到了解析结果[8][9][10]。 经推广之后也用于处理光场和多原子的相互作用。借助推广模型，很多人[[13][14][15]研究 了多原子的相互作用。众所周知，任何量子系统不可避免的与周围环境发生相互作用，

特别是环境温度，诱发量子系统的退相干。于是如何保持量子系统的纠缠态，这是目 前一个尚待解决的问题。本章将热纠缠的概念推广到腔场 QED 系统，借助共生纠缠度[16] 考察了全同二能级原子运动 Jaynes-Cummings 模型的实验参数对形成纠缠态的影响。文献综述

2。1  模型与理论推导

在目前的腔量子电动力学实验中，采用让一原子束沿轴向通过矩形或者圆柱形腔 而与不同的模场发生相互作用的方法，来考虑场与原子耦合而产生的各种量子效应[17]。 因此 ， 本文考 虑一个含 两个具 有偶极- 偶极 相互作用 的全同二 能级原 子运动的 Jaynes-Cummings 模型，选定腔场的轴为 Z 轴方向且两原子同时沿 Z 轴方向运动，用 f（Z）描述腔场场模的结构函数，

f (Z) sin( pvt / L) (2-1)

其中为原子沿腔场 Z 轴的运动速度，p 是长度为 L 腔场里的半波数。在偶极和旋 波近似下，在大失谐条件（即△>>g，△为原子场谐量△=w0-weg，g 为原子场耦合常数） 下，系统的 Hamiltonian 为：，Ω为原子间偶极-偶极相互作用强度；w0  为光子频率，weg 为激发



原子和基态原子间的跃迁频率； S e



g 和 S g

e 分别描述本征跃迁频率为 w0 的

二能级原子行为的升降算符，σi 表示第 i 个原子的反转算符。 在相互作用表象下，系统的有效 Hamiltonian 为，

为方便起见，取 1 。为了度量原子与腔场的纠缠程度，借助文献[16]引入共生纠缠度来-自~优+尔=论.文,网www.youerw.com +QQ752018766-

（Concurrence），为

C  max{0，1   2   3   4} （2-4）

 

式（2-4）中，参量1   2   3   4 是算符 k 本征值的平方根，算符 k 为

y 是泡利算符，12 为原子 1,2 的密度矩阵，*表示 12 在标准基矢{ 00 , 01 , 10 , 11 }

下共轭矩阵，原子基矢为 e，与其他的纠缠度物理量一样，共生纠缠度具有

以下特点：1）C=0 表示两原子不存在任何纠缠形式；2）0<C<1 表示两粒子为部分纠缠 态；3）C=1 意味着两粒子处于最大纠缠态。