Dahl从应力-应变曲线出发，用偏微分方程将应力的作用过程 图2-4 Dahl摩擦模型摩擦力与位移关系曲线

描述出来，即(2-5)

其中 为摩擦力， 为形变量， 为刚度系数， 为库伦摩擦力， 为决定曲线形状的常数。曲线在库伦摩擦范围内变化，当速度反向时，由于 的作用使得微增量变大，从而出现滞后现象。

将方程(2-5)变化后得 (2-6)

该模型即为处于稳态下的库伦摩擦模型，但由于并没有考虑静摩擦和Stribeck效应，因此后来诸多学者对该模型进行了修正及补充。

5  Bliman-Sorine摩擦模型

Bliman-Sorine摩擦模型[13]在Dahl摩擦模型的基础上强调了摩擦力的速度无关性，摩擦力的幅值仅由速度以及距离变量 决定，即

  (2-7)

其中 。不同阶数的Bliman-Sorine摩擦模型具有不同的复杂程度。例如一阶模型为 (2-8)

通过与方程(2-6)对比可以看出，上式即为 时的Dahl模型，也就是说一阶模型同样不能描述静摩擦及Stribeck现象。

再来看二阶模型(2-9)

该模型可以看做两个速度不同的Dahl模型结合而成的，快速模型的稳态摩擦力大于慢速模型，通过速度差构成静摩擦峰来描述运动转向时的Stribeck效应。通过模型分析，可得到当 时，一阶模型即为库伦摩擦模型，而二阶模型则是库伦摩擦与静摩擦结合而成的模型。但由于二阶模型所描述的Stribeck效应只在运动开始后的一定范围之内存在，当速度和摩擦力处于稳态时便无法描述Stribeck效应，使得其与现实中的摩擦现象并不相同。

6  LuGre摩擦模型

C.Canudas de Wit等人提出的LuGre模型[14]是在Dahl模型的基础上进一步的动态模型，它将接触面间的突点抽象成弹性刚毛，其中上层刚毛具有弹性，而底层刚毛为固定的。当接触物体相对运动时，相接触的刚毛象弹簧一样产生形变，所有刚毛产生的形变力之和及为摩擦力。LuGre摩擦模型通过刚毛接触点的形成、刚毛形变、接触点断开与新接触点形成的过程描述来摩擦的动态行为。

 Lugre摩擦模型简图

我们可以得出摩擦是关于刚毛形变量的函数。该模型具有上文中所提到的绝大部分摩擦特性，其形式如下(2-10)

式中 为刚毛平均形变量， 为刚性系数， 为阻尼系数， 为粘性系数。式中第一项描述了刚毛形变与位移成正比，第二项保证了稳态时 ，所以稳态方程为(2-11)

上式正好是稳恒速度下的指数模型，因此LuGre模型能模拟出Stribeck现象。这个模型同样也能描述变化的静摩擦以及Dahl现象等。