摘要：  本文依据被积函数和积分区间的特殊形式，给出利用级数及相关定理计算难以直接计算的定积分的特殊方法，从而使定积分计算问题巧妙地得到解决，并借助实例加以说明.

毕业论文关键词：  定积分，级数，计算方法

Abstract: On the basis of the special form of the integral function and the integral interval, special methods using series with related theorems to solve difficult integral are given, so as to make the calculation of definite integral problems skillfully solved.In this paper,we use some examples to analyse those.52480

Key words: the definite integral, series, calculation method

目录

1  引言  4

2  预备知识4

2.1  积分相关定理4

2.2  级数相关定理5

3  级数在定积分计算中的应用5

3.1  数项级数在定积分计算中的应用5

3.2  函数项级数在定积分计算中的应用9 

3.3  傅里叶级数在定积分计算中的应用 12

结  论  15

参考文献16

致  谢17

1  引言

通过学习数学分析这门课程,我们了解到定积分计算的常用方法有三种：牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法 .这些常用方法能解决定积分计算中的大部分问题,但是对于一些比较复杂的积分常常不易解决,如著名的椭圆积分.在竞赛及考研题中都会出现一些比较复杂的积分计算问题,文[6]中将这类问题简化,直接给出被积函数的傅里叶展式,本文考虑在此基础上,进一步完善,给出求解傅里叶展式的过程,从而便于积分计算.因特殊的被积函数和特殊的积分区间,如果考虑用特殊积分计算方法会使不易计算的积分变得容易解决,而利用级数计算定积分就是一种特殊方法.事实上,在我们学习过程中,级数内容是在定积分之后学习的,我们这里用级数知识去解决部分难以计算的积分问题,这不仅加深理解各部分知识的内在联系,提高解题能力,还开拓了数学视野,提高了数学素养.

文[7-9]探讨了利用级数计算定积分的方法,本文进一步地系统研究大学数学课程中有关复杂定积分的计算，主要利用数项级数、幂级数、傅里叶级数解决特殊积分区间上的特殊函数的定积分计算.

2  预备知识

2.1  积分的相关定理

定理1（可积准则）  函数 在 上可积的充要条件是：任给 ，总存在相应

一个分割 ，使得 .

定理2（Lebesgue定理：可积的充要条件）  设函数 在闭区间 上有界，则 在 上可积的充要条件为： 在 上的一切不连续点构成的集合是一个零测度集.

    定理3  设函数 在 上可积，则

变上限函数 ， ,

和变下限函数     ， ,

在 上连续.

2.2  级数有关定理

定理4  设级数 在 上一致收敛，且每一项 都连续，则

 .定理5  设幂级数 在收敛区间 上的和函数为 ，若 为 内任意一点，则 在 与 这个区间上可积，且

 .3  级数在定积分计算中的应用源'自^优尔;文,论`文'网]www.youerw.com

3.1  数项级数在定积分计算中的应用

对于被积函数在积分区间上只有可数个第一类不连续点，通常有两种方法可证可积性，即利用可积准则或 定理，再者，我们很自然想到以这些间断点作为分割点来分割积分区间，将定积分计算化为级数问题.即

被积函数在区间 上只有可数个第一类不连续点 ，且

那么有其中 在 上连续，而 

是易计算的.

例1  证明函数