该序列称为矩形窗函数。

理想低通滤波器的单位脉冲响应 截断后所得序列 的频率特性自然会发生变化，因此滤波器形状将不再是理想矩形，图3。1给出了M=20和60的因果冲激响应的幅度响应。由图可以看出，加窗后的主要影响是在滤波器通带和阻带上有波动，并且过渡带变宽。文献综述

综上所述，为使所设计的滤波器逼近理想低通滤波器，必须从降低通带和阻带波动和减小过渡带上考虑，选择合乎要求的 就是关键。此外，还需保留的采样点越多。

图3。1 非理想低通滤波器的幅度响应

3。1。2。2  窗函数设计法的性能

设窗函数为矩形窗函数 = ，由于 ，所以有

由图3。1可以看出，加矩形窗在 附近形成过渡带，过渡带与 的主瓣宽度近似相等。此外，加窗函数使得通带和阻带中出现波动，波动幅度大约是理想低通滤波器幅度的9%，而其通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数N无关。因此，矩形窗往往不能达到设计要求。

3。2 频率采样法设计FIR滤波器

3。2。1  频率采样法设计FIR数字滤波器的基本原理

频率采样法的设计原理是先确定希望逼近的滤波器的频率响应函数，再通过频率采样逼近频率响应函数。假设理想滤波器的频率响应函数用 表示，令

  ，对 进行等间隔采样N个点，得  （3-20）

对 进行离散傅里叶逆变换，得到 为   （3-21）

N为 序列的采样点个数，其系统函数 为

式（3-23）是用频率采样值 直接形成系统函数的公式。

用该法设计的低通滤波器，其传输函数与理想滤波器的传输函数存在误差，因此用频率采样法设计FIR滤波器时仍然要考虑是否满足性相位 的条件。

3。2。2  逼近误差及其采样措施

3。2。2。1   产生误差的原因

用频率采样法逼近目标滤波器，通带和阻带都会产生波动，造成过渡带加宽，使得实际的 与理想的 之间存在误差。

从频域角度分析， 和 的关系为

 ，代入上式得到

式（3-27）表示，当 时，不存在逼近误差；而在相邻的两个采样点之间， 为有限项的 之和，特性越平滑的区域存在的误差越小，但在特性曲线间断点处存在的误差越大。

3。2。2。2   减小误差的措施

减小误差最简单的做法就是增加采样点个数N，N越大表示采样点越紧密。然而，由于 为理想矩形，所以不管增加多少采样点数，在通带和阻带的交界处，幅度总是从1瞬间降为0，一定会导致起伏振荡。所以增加采样点个数并不能提高滤波器的阻带衰减。来,自,优.尔:论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

虽然通过增加采样点数不能使阻带的衰减特性得到改善，但是可以考虑在不连续的边缘上增加一些过度采样点来减少畸变，从而改善振荡起伏。

增加采样点数可以明显提高阻带衰减，但也使得过渡带变宽。增加的采样点个数和过渡带宽的关系为

      (3-28)

其中m为增加的采样点个数。

3。3 等波纹逼近法设计FIR数字滤波器

窗函数法和频率采样法的通带和阻带均存在幅度波动。显然拉平纹波的皱纹，可以更加地逼近理想滤波器的响应。所以，我们提出等波纹最佳逼近的思想。

3。3。1  等波纹最佳逼近的原理

在滤波器设计中，通带和阻带的误差性能设计要求是不一样的，为便于统一遵循最大误差最小化原则，要使得不同频带的加权误差最大值相等[4]。设要求的滤波器幅度函数为 ，逼近函数为 ，逼近误差加权函数为 ，则加权逼近误差函数为