那么经过采样时间T，目标的位置则为X(k+1)=X(k)+vT。目标运动过程中收到的随机扰动表示为V(k)，可以将系统表示为

                 (2。1)           

为了方便表示，将系统状态方程写为

                                          (2。2)

式中，

                  (2。3)

称F为状态转移矩阵，G为噪声驱动矩阵。

    接着，如图2。2所示，根据图中的目标与观测站的方位角关系可以建立跟踪目标的观测方程：

                (2。4)

由于在测量过程中存在误差且不可避免，存在噪声wk，则实际测量的方位角β (k)受到影响，应该是βreal (k)与wk的相加。

最后，综合式(2。2)(2。4)可得，做匀速直线运动的目标的纯方位被动跟踪模型为：

                                                      (2。5)

其中，为非线性状态方程函数；为非线性观测方程函数，和分别表示过程噪声和测量噪声。一般假设它们为高斯白噪声(White Gaussian Noise)，它们的方差阵分别为Q和R。

    在非线性滤波中，是通过观测方程得到观测时间序列来预估状态方程对应的状态序列。BOT便是如此。当我们忽略噪声的时候，通过观测方程仍然能够发现目标的状态参数和测量值依旧是非线性的关系，所以纯方位目标跟踪是非线性的。

然而，在实际工程测量中，除了常规的高斯噪声外，还含有其他的噪声干扰。被监测的对象有时候会人为加入许多干扰信号，使得它不容易被跟踪。所以，观测站得到的方位角信息中不仅仅只含有高斯白噪声，还有可能包含了有色噪声或者其他不明物体发出的无用信号。而非线性非高斯的信息利用一般的办法很难求解，纯方位跟踪的难点就在这里。

当然，对于UKF来说，只能处理常规的高斯噪声。因此在本次设计中，只考虑了包含常规高斯白噪声的目标运动模型。

2。3 纯方位目标跟踪的特性

2。3。1 可观测性

    纯方位跟踪和一般的目标跟踪的显著区别之一就是状态的可观测性不同。

可观测性概念是卡尔曼在20世纪60年代首先提出的，表示系统的状态是否能够通过其输出完全反映出来的问题。可观测性分析是纯方位目标运动分析(BOTMA)最核心也是最基础的研究内容。具有良好可观测性的纯方位系统，可以大幅度提高观测器对目标状态参数估计的可靠性和准确性[23]。

纯方位目标运动分析可观测性的实质就是非线性系统的可观测性问题。与线性系统不同，非线性系统具有局部可观测性和弱可观测性等特点，其研究过程涉及李代数等繁复的数学内容[24]，使得该类系统可观测性的分析研究比较困难[23][24]。

本文研究的基于声呐传感器阵列的纯方位目标跟踪是可观测的。

2。3。2 信号时延性

一般的是通过舰艇声呐以及水中监听设备来监测目标舰艇发动机所发出的声波，来定位出目标的位置和速度并进行跟踪。当声波在空中传播时，其传播速度和目标的飞行速度很相近，所以声波信号到达声呐的时候，目标离初始位置已经很远，因此传输的时延不能够被忽略，也就是说信号的传输存在时延效应[3][25]。

当然，本文研究的是水下目标的跟踪，当声波在水中传播的时候，速度远大于目标速度，因此传输的信号时延可以忽略。