1.4  有限元法

1.4.1 有限元法思想

有限元法是一种常见、高效实用的计算方法，利用计算机的计算功能，它为传统计算方法无法完成的工程问题提供了解决的可能。有限元法的产生最早以变分原理为基础，并在此之上慢慢发展起来。有限元法最初被广泛应用于求解泊松方程，另外还有拉普拉斯等方程中所描述的各类物理场问题，诸如有电场磁场的极值计算等。后来有学者在流体场问题中应用加权余数法以及最小二乘法，都同样得到了有限元方程，自此有限元法也被逐渐使用于解决各种利用微分方程所表达的场类问题，而不单单只是解决某类极值计算的问题以及泛值的求解，逐步可以计算出场中各点的精确解。

有限元法的基本思路是离散化，首先将一个连续物体进行结构离散离散化，划分成若干个子单元，然后再将各单个元通过边界节点的连接重新组成一个整体体。其次，利用近似函数，对各个单元内未知场变量进行求解。用求解结果表示各个单元节点的场变量，并得出与其相对应的插值函数。最后，使用与原始问题相近似的数学模型进行等效变分，或者用加权余量法建立未知量矩阵方程组，建立常微分方程并使用数值方法求解，从而得到最后计算结果[5]。

1.4.2 有限元法发展概况

有限元最初思想的提出比较早，从1943年至今已经有70年的历史，经过70年的发展，其理论也在日益成熟。有限元思想的萌芽最早产生于叫Courant的数学家，他在研究工作过程中提出了这一理论的初步想法。他最早尝试着在一类三角形区域定义分块的连续函数，并用最小能原理将其再结合为整体模型，通过这种方法计算St.Venant扭转问题。自此之后，许多应用数学家、物理学家以及很多机械工程师都对问题的研究加入了一种新的看法思路：有限元法。并且，他们都从不角样的专业角度度对有限元的理论思路、方法以及应用做出了各自的研究，并取得相应成果。

由于有限元法的计算量相对庞大，有限元法在实际工程中的应用随着科学计算机的发展才慢慢开始。有限元法最早用于解决实际问题是在1956年，TurnerClough等人将刚架分析的位移法进一步推广，用来计算分析航天飞机翼板的弹性问题。经过研究，得出了其平面应力问题的正确解，使用的是三角形单元，单元刚度矩阵是通过直接刚度法得到的，求解方法比较单一。他们得到的正确结果开创了利用计算机对复杂工程力学问题进行求解的全新篇章，大大提高了计算准确率和计算速度。经过几年的研究，TurnerClough在1960年对平面弹性力学问题进行了更深入的求解，并第一次使用“有限元法”的名称，对其做出阐述，使得人们可以更加清楚地了解到有限元理论以及其基本思路与功能[6]。

近四十多年，电子科学计算机在飞速发展，有限元分析理论、分析方法也都取得了不少突破，在计算机程序开发以及有限元分析应用等各方面都有实质性的成果。其应用领域也越来越为广泛，从固体静力学在到各种流体动力学，都能通过计算机进行有限元计算。并且随着计算机算法日益成熟，结合有限元理论的发展使得计算工作量得到减少。利用质量法代替质量矩阵，把计算过程从隐式转换为显式，减少复杂的矩阵运算，提高运算速率，并且可以得到与实际情况十分接近的解[7]。文献综述

如今有限元软件越来越多，其发展方向呈现出一些趋势特征：（a）为了适应更广范围的研究，从单纯的结构力学计算发展到求解多物理场问题；（b）在很多工程实际问题中，增加了许多非线性问题研究功能；（c）为了方便对模型数据修改，增强了对原始模型的建立以及修改能力；（d）目前，各种CAD三维建模软件琳琅满目，有限元分析软件也越来越倾向于与CAD建模软件的完美集成[8]。