单梁纯弯曲剪力弯矩图

2。3 单梁横力弯曲正应力公式

想要推导出自由叠合梁的横力弯曲正应力公式，首先要从单梁的横力弯曲正应力公式 入手。我们在《材料力学》中学到了单梁的纯弯曲正应力计算方法，然后将单梁的纯弯曲 正应力公式应用于横力作用情况下的正应力计算从而得到了单梁的横力弯曲正应力计算 公式。对于直接将单梁发生纯弯曲时的正应力公式用于横力作用情况下所产生的误差是否 符合实际工程的精度要求，崔婷[31]通过弹性力学的精确方法推算纯弯曲正应力公式应用于 横力弯曲时的误差，结果当梁的长度大于 5 倍高度时，将《材料力学》单梁的纯弯曲正应 力公式应用在单梁的横力弯曲正应力的计算上，相对误差为零，所得到的结果具有较高的

准确度，可以满足工程实际上的需求。 要讨论单梁在发生纯弯曲时横截面上的正应力需要综合研究变形几何方面、物理方面

和静力学三方面的关系。

(一)变形几何方面 我们通过观察如图 2-2 所示的横截面为矩形的单梁在发生纯弯曲 时的变形情况来对单梁横截面上的正应力进行探索研究。为了观察变形情况，我们在这根 梁的侧面画两道垂直于中性层的两根线 m-m、n-n 和两道平行于中性层且相对于中性轴对 称的两根线 a-a、b-b。然后使梁在两个方向相反、大小相等的力偶作用下发生纯弯曲，此 时可以观察到两根平行于中性层的线 a-a、b-b 发生了弯曲变形，靠近梁的上层面的 a-a 线 缩短为弧线 a’-a’，靠近梁的下层面的 b-b 线伸长为弧线 b’-b’，但是两根与中性层垂直的线 m-m、n-n 并没有随着梁的变形而发生变化，仍然是垂直于中性层的两条直线。

梁由固体材料制作而成的，我们只能观察它的表面变形情况而无法透过它的表面而去 直接观察它内部的情况，因此我们只能根据梁表面发生的弯曲变形情况对其内部的变形情 况做出下列假设：

（1）平面假设 假设在梁发生弯曲变形后，其横截面不随之发生变形，仍是与变形 后梁的中性轴垂直的平面。

（2）单向受力假设 假设梁是由许多根互相之间没有挤压应力的纵向金属纤维构成 的，且各个金属纤维都只受到一个方向的力的作用。

图 2-2 单梁弯曲变形图

如图 2-3 所示，当梁发生纯弯曲变形时，我们取出其中一微段 dx 并对其变形进行考察。 在微端内距离中性层为 y 的地方画一条直线段 b-b，在梁在发生弯曲变形以后，微段的左 右横截面会随之转动并形成一个角度 dθ，此时直线段 b-b 弯曲成为弧线 b’-b’，其长度可以

得出为：式中，ρ 为中性层的曲率半径。设梁的中性层处的直线段为 o-o，则 o-o 的长度与直线 段 b-b 的长度相等，因为直线段 o-o 位于梁的中性层上，所以在梁发生弯曲变性后，直线 o-o 的长度没有发生变化，即 oo=o’o’ ，所以直线段 b-b 的长度可以表示为：文献综述

bb oo o 'o ' d （2-2）

在《材料力学》中，正应变等于变性后的伸长量与变形前的长度的比值，因此可以得 到直线段 b-b 的正应变计算公式，又可以将其计算公式推广到距离中性层为 y 的任意直线 段，则距离梁的中性层距离为 y 处的任意直线段的正应变可以表示为：

 弯曲变形前后梁段

（二）物理方面 由于材料在受到单向力作用时的弹性模量 E 不变，则根据单向受力 假设且由胡克定律得