若为阶方阵，满足，那么方程组仅有唯一的解，并且记作为 。

但是我们在学习中接触的一般都是非方阵，那么我们如何解决这类问题呢？于是出现了一个新的拓展内容，即广义逆矩阵。

十九世纪二十年代广义逆矩阵被提出，即广义逆矩阵。凭据投影矩阵提出了矩阵的广义逆，而且广义逆唯一。后来，几乎没人提到这个概念。终于十九世纪五十年代， 证明出所定义的广义逆是仅有的满足相应条件的矩阵，重新激发了对研究广义逆的兴趣，对在这个范围做出重要功绩的二人，后人将此命名成逆。经过40年研究和讨论，有关广义逆的知识都迅猛的成长成熟，相关领域不断开拓，广泛的应用于数值分析、密码学、运筹学等方面和领域。十九世纪七十年代，美国的高校组织了一次关于广义逆的讨论，主编也为其发行了一篇综述文集Generalized Inverses and Appications。六年后，同样又在美国，又举办了一次相关的区域性质的讨论会议，而且主编了另一篇综述文集，其中有12篇是关于广义逆矩阵的最新的论文。而在国内方面在广义的逆矩阵方面也取得了巨大的成功。

    在由杨振海和王松桂编写的《广义逆矩阵及其应用》一文中详细地阐述有关广义逆矩阵的理论、方法和应用。王国荣于1994编写的《矩阵与算子广义逆》一书中，介绍了矩阵的广义逆在扰动理论、条件数、递推算法、秩修正阵及算子广义逆的表示和逼近等方面取得的一系列成果。

近些年来，广义逆的理论和计算问题的探讨进一步深入，广义逆矩阵范围内碰到了一些急待于解决的问题。比如，分块矩阵的广义逆中子块的独立问题、除环矩阵的广义逆问题和广义逆矩阵的秩式问题等。

本论文共有4章，第一章主要讲了广义逆矩阵的背景知识和符号表的定义；第二章主要讲了广义逆矩阵的定义和常见的5类广义逆矩阵，分别讨论了每种矩阵的定义和性质，为广义逆矩阵的计算和应用打下了基础；第三章对广义逆矩阵进行求解，主要用了标准形计算法，还有满值分解的方法来计算广义逆矩阵；最后一章介绍了广义逆矩阵在线性方程组中的应用。

1。2符号表

主要符号说明

             表示对角线元素为，其余元素都为零的矩阵，单位矩阵

            阶单位矩阵

            矩阵的M-P广义逆

            矩阵的转置

            矩阵的共轭转置

           的逆阵

           的{1}逆

          的{1,2}逆

          的{1,3}逆

            复维向量空间

          所有复元素矩阵的全体

          中所有秩为r的矩阵全体

       的秩

          矩阵的第元素

           矩阵的范数

         矩阵的值域

         矩阵的零空间 

第二章 矩阵广义逆

在现实应用中，我们碰见的很多矩阵都不是方阵，纵然是方阵也不必定是非奇异的，因此对于满足奇异矩阵乃至长方形矩阵该矩阵都存在，则该矩阵称为广义逆矩阵。广义逆矩阵在生产生活中有着重要的应用，因此成为了矩阵论的一个重要的分支。