摘 要函数与不等式都是数学学科中十分重要的部分，二者存在密切的联系。本文首先依次给 出函数的单调性、凸性、微分中值定理与极值的定义及相关定理，然后从这四个方面运用函 数来研究不等式。88033

一方面，本文利用函数的性质证明了一些已知的不等式，如运用函数的凸性证明 Jensen 不等式，运用函数的极值证明 Holder 不等式等。另一方面，本文还从一些实例函数出发，研 究函数的性质，建立不等式，如运用对数函数的凸性推导出Young 不等式，运用函数的极值发现:几何平均数不超过算术平均数等。 可见，函数在不等式的研究中有着不可替代的作用，函数性质的巧妙运用，会让不等式的证明更加高效，同时也给不等式的研究拓宽了道路。

Functions and inequalities are both very important parts of mathematics。 There is a close relationship between them。 This paper gives the definitions and theorems of functions’ monotony, convexity, differential mean value theorem and extremum one by one first,  then use  functions   to study  inequalities   from  these  four aspects。

On the one hand, this paper proves some known inequalities by using the properties of functions。 For example, proving Jensen inequality by monotony, proving Holder inequality by extremum and so on。 On the other hand, this paper also  starts with some instance functions, study the properties of functions and establish new inequalities。 For example, this paper find Young inequality by probing logarithmic function’s convexity, geometric mean is less than or equal to arithmetic mean by extremum  and so on。

From this paper, we can draw a conclusion that functions play an important part in inequalities’ study。 The cleaver use of functions’ properties will make the proof of inequality  more  efficient。   Meanwhile,   widen  the  road of inequalities’ study。

毕业论文关键词： 函数；不等式；单调性；凸性；微分中值定理；极值

Keyword: function； inequality； monotony；convexity；differential mean value  theorem；extremum

 目 录

摘要 2

引言 3源-于,优W尔Y论L文.网wwW.youeRw.com 原文+QQ75201,8766

一、函数的单调性在不等式研究中的应用 3

1。1  函数的单调性 3

1。2  利用函数单调性证明不等式 4

1。3  利用函数单调性发现不等式 5

二、函数的凸性在不等式研究中的应用 7

2。1 函数的凸性 7

2。2 利用函数的凸性证明不等式 10

2。3 利用函数的凸性发现不等式 11

三、微分中值在不等式研究中的应用 13

3。1 微分中值定理 13

3。2  利用微分中值定理研究不等式 13

四、函数的极值在不等式研究中的应用 16

4。1 函数的极值、最值 16

4。2  利用函数极值研究不等式 17

五、总结 21

参考文献 22

致谢 22

引言不等式是描述现实世界不等关系的重要数学模型，也是数学学科的重要组成部分，它遍 及数学的各个分支学科，有着举足轻重的作用。在数学中，对不等式的研究往往从两个方面 入手：证明已知的不等式与发现新的不等式。在数学界，不等式的研究具有悠久的历史，数 学家们研究不等式的方法各式各样，每种方法都有其独到之处同时也有一定的规律。其中， 构造辅助函数就是一种常用的方法。 From~优E尔L论E文W网wWw.YoUeRw.com 加QQ7520.18766