当我们考虑在市场长期波动情况下，如时间间隔为一年，那么按照上述结论可以得到，当年的股票价格在前一年股价的条件下等于前一年股价的期望，但如果是这样的话，那很少会有投资者持股时间超过一年，这与现实不符，因为现实中存在很多长期投资者。

（2）对数正态分布模型

对数正态分布的数学表达方程为：

dS/S=μdt+σdB

其中，μ 、σ是常量，B服从布朗运动，S表示t时刻的股票价格，μ表示股票预期收益率，σ表示股票的价格的波动率。这个模型由保罗·萨缪尔森在1965年首次提出。由ITO定理可得：

lnS_(T )~ N[lnS_t+(μ-σ^2/2)(T-t)，σ√(T-t)]

最终得到股票价格计算公式：

S_(T )=S_t e^((μ-σ^2/2)(T-t)+σ√(T-t) Z_T )         (3。1。2)

其中，S_(T )表示T时刻的股票价格，S_t 为t时刻的股票价格, Z_T为正态随机变量。

这一模型的基础是在假定收益率的方差不变，股价变化除了按 μ 表现为线性增长外，其变化大小只取决于当前信息，与过去的变化情况无关，没有记忆和趋势性。

（3）波动源模型文献综述

由于随机游走模型和对数正态分布模型只考虑了股价的随机波动，忽略了股票价格的异常波动，这与现实的股票市场不相符。因此，吴文锋和吴冲锋两人在此基础上提出了波动源模型。波动源是指影响股票价格波动的因素，分为随机波动源和异常波动源，随机波动源指引起股价指数随机波动的因素；异常波动源是指涨跌幅度或股指收益率超过一定幅度的原因，具体包括上市公司背景因素、宏观因素和主力交易者行为因素等。他们选取了一些股票的异常波动时间段，设这些时间段受到异常波动源作用，而其他时间段则没有受到异常波动源影响。其数学表达式为：

dS/S=α(t)dt+μdt+σdB           (3。1。3)

其中，S为t时刻的股票价格，α(t) 为与时间t有关的异常波动源的短期收益率函数。可以看出上式 (3。1。3) 是对数正态分布模型的修正形式，利用对 α(t) 的选取来修正样本数据，使之与现实股票市场更为符合。

上述三个模型中，波动源模型比起其他两个模型能更好地描述股票价格的波动，但是在其异常波动源函数 α(t) 的确定上较为复杂，很难准确地预测和判断，再加上如果利用波动源模型确定股票价格那么期权价格又很难计算，因此我们还是选用对数正态分布模型进行模拟。