设 为实数列，a为定数。若任给正数 ，总存在正整数N，使得当 时，有 ，则称数列 收敛于a，并记为 

    设函数 在点 的某一去心领域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ， 总存在正数 ，使得当x满足不等式 ，对应的函数值 满足不等式 ，那么称函数在 存在极限A，并记为 

    以上是数列极限的定义和函数极限的定义，当下许多人连极限的定义都无法叙述却已经在做极限的相关练习，极限的基础知识比较薄弱，这是不可取的。

例1。求数列 的极限并证明，其中 

    由该数列的定义较为容易的看出数列有趋向于1的趋势，因此猜测该数列的极限为1，并通过数列极限的定义来证明 

证明：由该数列的通项公式易知 ， ，取 ，则当 时，可以做到 ，于是该数列极限为1

    但是通过极限定义求极限有很大的局限性，因为该方法只能用于较为容易观察出极限的数列或对于已知数列的极限用该方法来证明。

3。利用等价代换和初等变形求极限

3。1 等价替换

求乘除式的极限里，其因子可用等价因子替代，极限不变。最常用等价关系如：当 时 

例2。 

本题中运用上文提到的等价关系式就可以轻易的求出极限

解：由 时， ， 知

注：等价替换的原理，来源于分数的约分，只能对乘除式中的因子进行替换，在分子（分母）多项式里的单项不可做等价替换，否则可能会招致错误。

例如： （此处运用了泰勒展示，将会在下文中给出详细的说明）。但若将 换成 则极限为0，这是原则性错误。

3。2 初等变形论文网

利用等价关系化简极限序列，进一步得到答案。以下给出一些较为常见的等价关系： ； ； ； 。 

数学中的等价关系纷繁复杂，在这里无法完全罗列，这需要靠平时的积累和经验。

例3。 其中 

考虑到 ，用该公式对 进行化简

 ：乘以 ，对于分子反复利用关系式 

易得      4。利用已知极限求极限

在极限式中进行初等变化，将其简化成一些已知极限式的多项式，并代入已知的极限进行计算。常会用到的已知极限如： 。这也是数学中最重要的两个极限。

注：在使用已知极限时需要注意变量趋向的值需要一致。

5。利用两边夹法则求极限

5。1 两边夹法则

当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量做适当的放大和缩小，使放大和缩小的变量易求极限，且两者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值。

例5。 

解：由

此不等式用拉格朗日微分中值法易证。如左边不等式可以用函数 ，

易得

将 各不等式相加，可得

而该式左、右极限都为2，因此由两边夹法则可知原式极限存在，且极限为2。

5。2 两边夹法则的推广形式

    在使用两边夹法则时，若放大和缩小的量的极限值不相等，但只相差了一个任意小量，则两边夹法则任然有效。