二、方程的初步解释

    从数学角度出发，方程（1）可以被认为是守恒定律：细胞浓度在一个确定时间点（等号的左边）的变化应该等于右边项的和。这方面包括从外部区域朝向考虑点扩散（第一项），然后每单位体积和单位时间（即增殖）产生的新的肿瘤细胞总数，最后，对于外部影响放射线治疗的效果参数， 应该是一个负的标量，使参数 体现细胞浓度由于放射治疗而减少。如果 已知（使用扩散MR），则联合方程（1）及（2）可在域的每一点上数值求解。要解决方程（1），必须假定一个初始条件，即 

这里的主要问题是“ ”项的解析形式。

关于 的正确形式，在线性二次模型中可以根据其定义派生的框架（“细胞浓度/密度每单位时间的相对变化， 在时间t”）。在数学方面，考虑提供剂量 ，在一个恒定的剂量率 和时间 的环境中，起点为 ，和结束后的一个时间段 ，其中 。为了避免任何可能的混乱我们首先考虑单一的治疗。 表示（单一）照射的时间，并在开始时设置为零，而 表示在时间 累积的剂量。最后这个单一的治疗累积剂量将是： 。变量为t，举个列子，在方程（1）中，代表辐射处理开始以来的总时间，包括n个照射分数的总和（假定提供相等剂量），在整个治疗结束后分数和“观察时间”之间的时间。像以前一样，考虑一个单一的照射下的 模型，在时间 的细胞浓度，然后：文献综述

为简单起见，我们将不考虑这里的“全面治疗时间”的效果；如果有必要，可以插入LQ模型。

（方程（4）的时间（部分）导数是

所以R的形式为       （6）

从中我们可以看出，上述方程 是每单位时间的照射下，细胞密度相对电离辐射照射的时间的变化率；自然是否定了电离辐射减少细胞数。表达式（6）明确地基于分次照射的基础上。这种表达式对短期内照射引起细胞浓度变化趋势的研究是十分有用的（有次序的照射不同时间量）。然而，在一般情况下，总的时间变量t的取值是远远大于 ，例如一天的时间。在这种情况下，我们必须考虑表达式（6）在照射时间 内的平均值。此值R可以很容易地获得： （7）

这表达式带入到方程（1）中也能验证通过（短时间单次照射），为什么从照射开始的总采样时间大于照射时间？其原因是计算照射时间的平均值大于 ，照射后没有细胞的杀伤效应（ ）。当n的次数给定， 项是（7）式的总和， 考虑到N，多次给定的时间t的总和，不相等分式的推广是直接的。

为了简单起见，我们在前面给出的表达式只是时间不同。自然变量 ， ， 也取决于空间坐标 。 表达式（6）和（7）的正确性可以通过对方程（1）取极限值容易验证，在前两项等号后面是微不足道的（换句话说，我们可以得出辐射是细胞数变异的唯一因素）。通过联立简单的一阶方程得到，我们验证了LQ方程的基本表达（4）。