使得 同时为对角矩阵。 

证明  是正定的，所以合同于 ，即存在可逆矩阵 ，使得 ，又 是 阶实对称矩阵，故有                     

从而存在正交矩阵 ，使得 为对角矩阵。  取 ，则有

由此可知，存在可逆矩阵 ，使得 同时为对角矩阵。

例2 若 都是 阶正定矩阵，证明 。     证明  存在实可逆矩阵 ，使得