摘要：本文研究的是非线性方程组的一类迭代解法。 首先是对迭代法进行说明，再对其中一种牛顿迭代法进行具体研究，最后将牛顿迭代法运用到非线性方程组的求解当中。

毕业论文关键字：非线性方程组  迭代法  牛顿迭代法90619

Abstract: A class of iterative methods for nonlinear equations is studied in this paper。 Firstly, the concept of iterative method is introduced, and the Newton’s iterative technique is proposed。Finally, the Newton iterative method is applied to solve some nonlinear equations。

Keywords: Nonlinear equations, Iterative method, Newton iteration method

目录

1 引言4

2 迭代格式的构造4

3 收敛性与误差估计5

4 牛顿迭代法6

4。1 牛顿法的构造6

4。2 牛顿法的几何解释7

4。3 牛顿法的收敛性及收敛阶7

4。4 牛顿法的计算步骤7

5 解非线性方程组的牛顿迭代法8

5。1 Newton法8

5。2 拟Newton法9

结论12

参考文献13

致谢14

1  引言

随着科技的飞速发展，科学与工程计算也愈来愈显示其重要性。 作为科学与工程计算的数学工具，显而易见，数值计算是我们大学生的必修课。

迭代法是数值计算中一类较为典型的方法，不仅可以用于方程求解，也可用于方程求根。 牛顿迭代法在实质上是一种线性化方法，它的基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。 牛顿法的优点是收敛速度快，而它的缺点是对初值要求严格，每次迭代要计算导数值 。 为了简化计算，扩大初值的取值范围，需对牛顿法做一点改进。 

2 迭代格式的构造论文网

设方程    （2。1）在 内有唯一的根 ，将方程（2。1）写成一个等价形式为（2。2）在 内任意取一点作为初值 ，用递推关系

                                           （2。3）得到序列 ，把式（2。2）称为迭代格式， 为迭代格式， 为迭代序列，在用式（2。2）得到 的过程，称为简单迭代法，当 收敛时，其极限就是方程（2。2）的根 ，此时称为迭代收敛法。 

用迭代法求方程（2。2）步骤如下：

（1）准备  提供 （初始近似）， （迭代次数）， （精度）， （最大次数）；

（2）迭代   ， ；

（3）控制  若 ，则终止计算， 为所求;若 ，则计算失败；若 且 ，则 。返回步骤（2）继续。

   用迭代法求方程（2。1）近似根，需要讨论如下问题：

    （1）如何选取合适迭代函数 ？

    （2）迭代函数 应满足怎么样的条件，序列 收敛？

    （3）误差是怎样估计的？

    （4）怎样加速序列 收敛？

3 收敛性与误差估计

定理1   设迭代函数 ，满足以下的两个条件：

     （1）对任意 ，有 ；

     （2）存在正数 ，使对任意 ，有

则方程 在 上存在唯一的根 

证明  先证明根的存在性。 若 或 ，显然在 上方程有根。 以下设  及 ，并定义函数 。 显然 ，且满足 由连续函数性质可知存在 ，即 ， 即为 的根。

再证唯一性。设 ，则由条件（2）得