；方差：Var ；

逆函数递推公式： 

④模型识别：MA(q)模型的自相关系数截尾，偏自相关系数拖尾。

（3）移动自回归（ARMA）模型来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

① 则称为

自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q) [10]

模型简记为 ，

其  ，称为P阶自回归系数多项式；

  ，称为q阶移动平均系数多项式。

②平稳性和可逆性判别：参考AR(p)模型的平稳性、MA(q)模型的可逆性。

③统计性质： 

均值:  ； ；

其中Green递推公式: ， ；

逆函数递推公式：  ， ；

 ；

 。

④模型识别: ARMA(p,q)模型自相关系数拖尾，偏自相关系数拖尾[11]。

2。15 参数估计

（1）矩估计：用样本矩作为总体矩估计量。

（2）极大似然估计：认为样本来自使该样本出现概率最大的样本，即似然函数最大时求得的估计量。

（3）最小二乘估计：使残差平方和达到最小的那组参数值。

2。16 模型检验

样本容量n,未知数个数m

（1）模型显著性检验：， [12]。

（2）参数显著性检验：

其中   ， Var 

2。17 模型优化

（1） +2(p+q+1)达到做小；

（2） +lnn(p+q+1)达到最小；

相对最优模型：所有通过检验的模型AIC和BIC函数达到最小的模型。

2。18 模型预测

（1）原理（预测方差最小原则） 

其中  为 的线性函数[13]。

（2） ； ；

 。

（3）修正预测:已知新 

t+k期的误差： ；论文网

t+k+L期的预测值： 。

2。2 非平稳序列的随机分析

2。21 Gramer分解定理

原理：任何一个不平稳时间 都可以分解成两部分相加

①由多项式决定的确定性趋势成分②平稳的零均值误差成分[3-13]，

 [9]其中：     。

2。22 差分运算及差分选择

在Gramer分解定理保证下，d阶差分可以将时间 中蕴含的确定性信息提取出来[14]。

差分运算 

差分选择：①序列蕴含显著的线性趋势：一阶差分；

②序列蕴含曲线趋势：低阶差分（2阶或者3阶差分）；

③序列蕴含周期趋势：k步差分（季度k=4,月度k=12）。

注意：理论上，足够多的差分运算可以充分提取原序列的非平稳确定性信息；实际上，差分运算阶数不是越多越好，过多差分导致有效信息浪费而降低了估计的精度[13]。

2。23 ARIMA模型

①定义：对于非平稳的时间 ，差分运算后序列是平稳非白噪声 

则称该模型为求和移动自回归模型，简记为ARIMA（p,d,q）[15]。

其中 ，称为P阶自回归系数多项式。

  ，称为q阶移动平均系数多项式。

② 相当于ARMA 模型中 ，则ARIMA的参数估计、模型检验、模型优化的方法参考ARMA。

③疏系数模型：如果只是自相关部分有缺省系数，则疏系数模型可以简记为ARIMA（ 为非零自相关系数的阶数。

如果只是移动平均部分有缺省系数，则疏系数模型简记为ARIMA 为非零移动平滑系数的阶数。

如果自相关和移动平滑部分都有缺省，则疏系数模型简记为ARIMA 。

⑤季节模型： , 文献综述

D为周期步长，d为提取趋势信息所用的差分阶数。 

 , 

简记为ARIMA(p,d,q) (P,D,Q),

S为周期  。