半群，群以及有序群的探讨(2)
2.2群及有关知识的定义：
定义 1.1半群：具有构成成分 ,这里*是二元运算，并满足结合公理 以及运算封闭性的代数称为半群。
定义 1.2群：群 是一个代数系统，其中二元运算*满足以下3条：（1）对所有的a，b，c G，a*（b*c）=（a*b）*c （2）存在一个元素e，对任意元素a G，有a*e=e*a=a （3）对每一a G，存在一个元素 ，使 。简单地说，群是具有一个可结合运算，存在幺元，每个元素存在逆元的代数系统。
定义 1.3阿贝尔群（可交换群）：群中的运算*一般称为乘法。如果*是一个可交换运算，那么群 就被称为可交换群，或称阿贝尔群。
定义 1.4有序群：设G是一个群，若G存在子集S满足下列四个性质：（1）单位元e ；（2）若a G，则或者a S，或者a=e，或者 ；（3）若a，b S，则ab S；（4）对任意a G，有 。由上面四个性质，在G中规定序关系“<”为： ，称 如果 。易见“<”却是序关系，此时我们称G为有序群。
定义 1.5映射：设a,b为两个集合， 称为由a到b的一个映射，如果对于任一a a，都唯一存在b中的元素 与之对应，此时 称为a（在 下）的像，a称为 （在 下）的原像或反像。一般的，设S为a的任一子集，则 称为S(在 下)的像，常记为 ；设T为b的任一子集，则 称为T(在 下)的反像，常记为 。如果a中任意两个不同元素在 下的像都不同，则称 为单射。如果b中任一元素在a中都有原像，则称 为满射。即单又满的映射称为双射，或一一对应。