关于s-凸函数的性质及其不等式的研究(5)
.
同理，由
,
取 ， ， ，即可推的所需的不等式。
证明完毕。
6 s-凸函数的Hermite-Hadamard不等式和Ostrowski不等式
Kirmaci已经证明了一些凸函数的Hermite-Hadamard不等式 。
定理6.1 是 ( 为区间 的内部)上的可微函数，若 为 上的凸函数，则有： ，
其中 。
定理6.2 是 上的可微函数，若 为 上的凸函数，则
其中 ， 。
随后，Pearce和Pečarić将上述定理进行推广，证明了下述定理
定理6.3 是 上的可微函数，若 为 上的凸函数，则 ，
其中 ， 。
相对于凸函数，Dragomir和Fitzpatrick证明了以下著名的第二类 -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式 。
引理6.4 假设 ，且 ，则：其中 。
由于资料的缺失，再加上引理6.4所得的不等式是之后所有推广的不等式的基础，在此，本文给出引理6.4的证明过程。
证明：先证明不等式（7）的右边部分。取 ， ，则由第二类 -凸函数的定义得
.
上式不等式两边积分
.
即得右边部分不等式。
再证明不等式（7）的右边部分。令 ，则进行变量替换得
. （8）
因为 是第二类 -凸的，则
代入（8）式
.
即得左边部分不等式。
证明完毕。
下面部分我们将从上述凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的条件出发，对其做一些改变，使这些函数形式满足第二类 -凸函数的定义，推广出一系列 -凸函数新的形式优美的Ostrowski不等式，并且由这些 -凸函数的Ostrowski不等式又能够推出上面的 -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式。
目前为止，Alomari和Darus已经得到了可微的第二类 -凸函数与Ostrowski不等式相关的一些不等式，他们使用了以下引理进行证明 。
引理6.5 是 上的可微函数，若 ，则对任意的 ， ，满足以下不等式
,其中 ， 。
他们的结论是 ：
定理6.6 是 一个可微函数，且 ，若在 上 ，且 ，则对任意的 ，满足不等式
其中 , , ， ， 。
在这基础上，本文将重点考虑特殊的绝对值函数（ ， ），当他们满足第二类 -凸函数定义时，所得到的一些新的Ostrowski不等式 。
定理6.7 是 一个可微函数，且 ，若在 上 ，则对任意的 ，满足不等式
其中 , , 。
证明：由于 在 是第二类 -凸的，根据引理6.5可得
其中我们使用了已有的积分公式：
证明完毕。
推论6.8 在定理6.7中，若取 ，则不等式（10）可变为
注：在推论6.8中，若 ，则不等式（11）变为
即为定理6.1中凸函数满足的不等式。
定理6.9 是 一个可微函数，且 ，若 ，则对任意的 ，满足不等式
其中 , , ， ， 。
证明：由Hölder不等式 及引理6.5可得
因为 是第二类 -凸的，所以
使用已有的积分公式
综合（13）-（17）式，即可的所需证明的不等式（12）。
证明完毕。
注：在定理6.9中，若取 ， ，则不等式（12）可变为 ,
即为定理6.2中凸函数满足的不等式。
定理6.10 是 一个可微函数，且 ，若 ，则对任意的 ，满足不等式