循环环的探讨+文献综述(2)
1.循环环的相关定义
定义1.1[1] 设集合 非空且包含两个代数运算,一个称为加法(一般用+表示),另一个称为乘法.如果
10 对加法作成一个加群;
20 对乘法满足结合律:
;
30 乘法对加法满足左右分配律:
, .
其中 为 中任意元素,则称 关于这两个代数运算作成一个环.
定义1.2[1] 一个环 关于其加法作成一个加群,用 表示,并称其为环 的加群.如果加群 是一个循环群,则称环 是一个循环环.并称 的生成元 为循环环 的生成元,记 .
这样,如果 ,则循环环 为
为整数.
定义1.3[2] 在循环加群中,如能引入乘法运算构成环,称此环为循环环.
定义1.4[1]如果环 只含有限个元素,则称 为有限环,环 的元素个数称为 的阶;否则称 为无限环,其阶称为无限.
环 的阶用 表示.
定义1.5[1] 如果环 的乘法满足交换律,即对 中任意元素 都有
.
则称 为交换环(可换环);否则称 为非交换环(非可换环).
定义1.6[1] 设 是环 的一个非空子集.如果 对 的加法与乘法也作成一个环,则称 是 的一个子环,记为 或 .
定义1.7 [1] 设 是环 的一个子加群,即对 中任意元素 , ,差 仍属于 .如果又有
.
则称 是环 的一个左理想;并称 满足左吸收律.
如果
.
则称 是环 的一个右理想;此时称 满足右吸收律.
如果 既是环 的左理想又是右理想,则称 是环 的一个双边理想,简称理想,并用符号 表示;否则记为 .
定义1.8[1] 任意取定一个正整数 ,令 为由 个剩余类
作成的集合.若对任 满足下面加法与乘法
, .
则我们称 为以 为模的剩余类环,简称模 剩余类环.
定义1.9[1] 如果有一个环 到环 的映射 满足
,
.
则称 为环 到 的一个同态映射.
定义1.10[1] 如果有一个 到 的同态映射,则简称 与 同态,记为
.
定义1.11[1] 如果 是环 到环 的一个同态,而且 又是双射,则称 为环 到环 的一个同构映射.当 与 之间存在同构映射时,称环 与环 同构,记为
.
定义1.12[3] 设 是 阶环, 是 的任一素因子,若 不能整除 ,则称 是阶的素因子均为单素因子的环,简称单素因子环.
定义1.13[1] 如果环 中有元素 ,它对 中每个元素 都有
.
则称 为环 的一个左单位元;如果环 中每个元素 ,它对 中每个元素 都有
.
则称 为环 的一个右单位元.
环 中既是左单位元又是右单位元的元素,叫做 的单位元.
定义1.14[1] 设 是环 的一个元素.如果在 中存在元素 使 ,则称 为环 的一个左零因子.
同样可以定义右零因子.左、右零因子统称为零因子.
定义1.15[1] 设 是一个环.如果 ,又 有单位元且每个非零元都有逆元,则称 是一个除环(或体).
可换除环称为域.
定义1.16[2] 阶大于1且无零因子的交换环,称为整环.
2.循环环中的基本定理
定理2.1[1] 素数阶环,更一般地,阶为互异素数之积的有限环必为循环环.
定理2.2[4] 设 是一个 阶环,其中 为两个不同的素数,则 必是一个循环环.
证 由于 是一个 阶环,则其加群 中有 阶元 和 阶元 .又由定义1.2知加群 为循环群,又循环群必是交换群.则由群元素阶的性质可得 中的元素 的阶为 .因此, 是一个 阶循环群, 是它的一个生成元.即 阶环必是一个循环环.
定理2.3[5] 循环环必是交换环,并且其子环也是循环环.
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