证  设 为循环环,且 .则任取 ,令 .则 .故 可换.
又循环群的子群仍是循环群,故循环环的子环仍是循环环.
定理2.4[6]  设 是一个循环环,则 是 的子环当且仅当 是 的子加群.
证  设 为 的加法生成元. .设 ,若 为 的子加群,则 .于是 .故 为 的子环.反之显然.
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