小波变换及其在图像去噪中的应用
毕业论文关键词 小波变换；滤波器；图像去噪
1 引言
对许多自然信号，小波变换是比傅立叶变换更有效的工具.小波变换使用一组拓展的分析函数来提供了一种多分辨率的表示.我们使用MATLAB程序进行离散小波变换（DWT）的实现.其中一文，二文，三文信号的程序都分开描述，但它们都遵循相同的结构[1-5].
离散小波变换是基于完全重构的双通道滤波器组来实现，下面讲到的正/逆离散小波变换的程序调用了分析/合成滤波器组的程序.离散小波变换递归地应用双通道滤波器组，并对低通滤波器的输出进行连续分解.
小波变换有几种形式，临界采样形式的小波变换表示最简洁，然而，它也有一些局限性.例如，它不具备平移不变性，并且它在多文度下无法辨别方向，这两点在图像处理中是很重要的.因此，对于某些程序的改进可以通过使用拓展的小波变换代替临界采样.一个拓展的变换是将N个点信号转换成M个系数，其中M>N.第三章节我们将实现双树复小波变换.
双树复小波变换克服了这些局限性——它几乎是平移不变的，且面向二文.二文双树复小波变换在每次测量中产生优尔个波次频带，每个都导向于不同的角度.除了空间导向，三文双树小波变换也是有运动选择性的——每个次频带与特定方向的运动有关.三文双树小波变换隔离了它的次频带在不同方向的运动.
本文研究离散小波变换和双树小波变换，并结合这两种方法进行图像去噪并比较效果，主要方法有：
1.小波阈值法[5].
2.基于双变量收缩函数的局部自适应的图像去噪(可分离的DWT，双树DWT)[6,7].
2 离散小波变换
本小节我们介绍一文，二文，三文离散小波变换，通过Matlab程序实现其完全重构的滤波器，进行滤波迭代处理。
2.1 一文离散小波变换
2.1.1 完全重构的双通道滤波器组
分析滤波器把输入信号 分解为两个次频带信号 和 . 代表 的一部分低频信号， 代表 的一部分高频信号.分析滤波器用一个低通滤波器和一个高通滤波器对 进行过滤，我们用af1（分析滤波器1）表示低通滤波器，用af2（分析滤波器2）表示高通滤波器.如下图1所示，每个滤波器的输出信号是由两个分析滤波器亚采样（缩减像素的采样）得到的，最终得到两个频带信号， 和 .
图1 信号x的分析和合成
我们使用Matlab程序afb.m来实现分析滤波器对信号的处理.并使用信号处理工具箱函数upfirdn进行滤波和亚采样（缩减像素的采样）.
合成滤波器把两个次频带信号 ， 结合成一个单频信号.它首先对两个次频带信号逐一进行提高采样率的采样，然后分别使用低通滤波器和高通滤波器进行过滤.我们用sf1（合成滤波器1）表示低通滤波器，sf2（合成滤波器2）表示高通滤波器，然后得到的两个信号叠加来获得信号 .若这四个滤波器的输出信号 等于输入信号 ，那么这些滤波器是满足完全重构条件的.我们用Matlab程序sfb.m来实现合成滤波器对信号的处理.有很多组滤波器都满足完全重构条件，下表中展示一组近似对称的滤波器.
表一 分析和合成滤波器（farras.m)