数值解迭代法的探讨(2)
1.1.1 迭代法的定义：
对于给定的线性方程组 用公式 逐步代入求近似解的方法称为迭代法（或称为一阶定常迭代法，这里 与 无关）.
1.1.2迭代法
设有线性方程组
其中， 为非奇异矩阵。下面研究如何建立解 的迭代法.
将 分裂为
其中, 为可选择的非奇异矩阵( ),并且使 容易求解，一般情况下,选择为 的某种近似,称 为分裂矩阵.
于是,求解 转化为求解 即求解
求解
也就是求解方程组
从而可构造一阶定常迭代法：
其中 称 为迭代法的迭代矩阵,选取 阵,就得到解 的各种迭代法.
1.2 迭代法的原理
1.2.1雅可比迭代法：
因为方程组
为非奇异矩阵,不妨设 将方程组 变形并且建立迭代公式
选取初始向量 后,由式子 反复迭代可得向量序列 满足
那么,上述计算过程所给出的迭代法称为 迭代法,其中 为迭代矩阵.
为了比较方便的给出迭代矩阵 我们将线性方程组 中的系数矩阵 分裂成三部分，表示为矩阵形式
设 选取 为 的对角元素的那一部分的矩阵，即选取 (对角矩阵). 由 式得到解 的雅可比 迭代法
其中 称 为解 的雅可比迭代法的迭代矩阵.
1.2.2 高斯—塞德尔迭代法
在 迭代公式 的使用过程中，要同时保留两个近似解向量 那么，如果把迭代公式改写成以下形式
即每算新的近似解的一个分量 在算下一个分量 时，用新分量 来代替老的分量 来进行计算.这样,在计算过程中,只需要 个单元存储近似解的分量.并且通常我们认为,新得出的近似解可能要比老的近似解更接近于精确解,因此,希望这样的迭代会更家的有效.
上一篇：数学史融入中学数学教学的研究
下一篇：极值最值的讨论及其应用