微分中值定理中值点性质的探讨
1.1一元函数微分中值定理中值点的连续可导性
1.1.1泰勒中值定理中值点的连续可导性
引理1.（泰勒中值定理）若函数 在开区间 上存在直到n+1阶导数， 则对任意 ，都有： （1）
其中有 介于 之间。38315
定理1 如果函数在开区间 上直到n+1阶导数， 在开区间 上严格单调，那么时满足（1）式的 是x的单值函数。
证 对任一 ， ，有 同时符合（1）式，即有论文网
则有 因为 在开区间 内严格单调，所以 ，故 时是小的单值函数。
定理2 如果函数 在开区间 内存在直到n+2阶导数，并且 在开区间 内恒成立， 为常数， 那么 时满足(1)式的 是x的连续函数。
证 设在 内恒成立 , 那么 在 内严格单调递增,结合定理1, 时满足(1)式的 是x 的单值函数, 记 = (x).
任意取x,
那么 (1)式即为
其中有 介于 之间.又有
其中 之间。于是，得
(2)
在 构成的区间上满足拉格朗日中值定理条件，所以有
由(2),(3)式，可得
因为 所以
因为x的任意性， 在区间 内连续。
定理3 若函数 在 内存在直到n+2阶连续导数，并且 在 内恒成立， 为常数， 那么 时满足(1)式的 是x的可导函数，并且
证 设在 内恒成立 ，则由定理2， 时满足(1)式的 是x的连续函数。
任意取一x,
则由定理2证明中的(4)式，有
其中有 介于 之间， 之间， 之间。
因为 在点x连续，故 时， 从而 .又 在开区间 内连续，所以 所以，
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