复变函数论中幂级数的问题研究(2)
在研究复变函数中的幂级数的敛散性的一些性质前，我们先来简单的了解一下实数域中的幂级数的一些性质，这样可以增加一些对比，以便于我们在以后的学习中更好的了解幂级数的敛散性.在实数域中，如果幂级数 不是只在x=0一点收敛,同时在数轴也不是收敛,那么它必定存在绝对精准的一个正数R,并且他还有如下性质:
当x<R时,幂级数 绝对收敛;当x>R时,幂级数 发散;当x=R与X=-R时,幂级数 可能发散也可能收敛.正数R称作幂级数 的收敛半径.幂级数在x=±R处的收敛性导致了它在区间[-R,R)、(-R ,R]、或[-R,R]上收敛,这个区间称作幂级数 的收敛域,而开区间(-R,R)称做幂级数的收敛区间.假如 只在x=0收敛,就规定R=0,如果 对一切x都收敛,则规定 .
在复数域中，为了搞清它的敛散性,先建立阿贝尔(Abel)定理：假设幂级数在某个 收敛,那么它一定在圆K:
证：假如z是上述圆K内的任意的一个定点.由于 是收敛的,它的各项必然有界,即有正数 ,使
这样一来,即有
注意到|z-a|<|z1-a|,故级数 为收敛的等比级数.因 在圆K内绝对收敛.其次,对K 内任一闭圆 : 上的一切点来说,有
故 在 上有收敛的优级数 ，所以它在 上一致且绝对收敛.因此这个级数一定会在圆K内内闭且绝对一致收敛.
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