截尾回归模型参数估计的性质(2)
把 个投试样品试验到部分失效就停止的试验称为截尾寿命试验.在截尾寿命试验中，依先后顺序记录的失效数据 …… 称为截尾样本，其中 为失效数.一般 ，特别，当 时，截尾寿命试验就成为完全寿命试验.一般说来，截尾样本所含的失效信息总比完全样本少一些，假如我们能知道产品的寿命分布，譬如是指数分布或是对数正态分布，那么用截尾样本加上产品的寿命分布信息，进行统计分析，获得的产品可靠性指标的估计仍然是可靠的，由于这一点，当今不少产品都采用截尾寿命试验，以图减少寿命试验时间.常用的截尾寿命试验有如下两种：
(1)定时截尾寿命试验，又称Ⅰ型截尾寿命试验，它是指试验到指定时间就立即停止试验，这时样本中的失效个数是随机的，譬如对 个样品进行寿命试验，事先指定 小时是试验停止时间，那在 小时内可能失效 个，也可能失效 个，为了不使失效个数过少或过多，恰当地规定试验停止时间是实施时截尾寿命试验的关键 个产品在 时开始试验，试验到事先规定的截尾时间 停止，如果试验截止时一共有 个产品失效，他们的失效时间分别为 … .此时失效数 是一个随机变量，所得的样本 ， ，……， 称为定时截尾样本.
(2)定数截尾寿命试验，又称Ⅱ型截尾寿命试验，它是指试验到指定的失效个数停止.譬如事先规定试验到有 的样品发生失效时停止，若有 个样品参加试验，那试验在有 个样品失效时就停止，知识试验停止所用的时间是随机的，因此恰当地规定失效比例，不至于是试验时间过长是成功地进行定数截尾寿命试验的关键 个产品在 时开始试验，实验进行到有 个产品失效时停止， ， 个失效产品的失效时间分别为 … ， 是第 个产品的失效时间，所得的样本 ， ，…， 称为定数截尾样本.
1.2截尾样本的分布
次序统计量及其分布
次序统计量
设 ,…， 是来自某总体的一个样本，该样本的第 个次序统计量，记为 ，它是如下的样本函数，每当该样本得到一组观测值 ， ，…， 时，将它们从小到大排列为 … ，其中 称为该样本的最小次序统计量， 称为该样本的最大次序统计量. 称为该样本的次序统计量.
在总体有密度函数 场合，各种次序统计量的密度函数都容易用”概率元法”导出.设 是来自某总体的一个样本，该总体的分布函数为 ，密度函数为 ，该样本的次序统计量为 ，它们的观测值依次记为 .
定理1 设总体 的密度函数为 ，分布函数为 ， 为样本，则第 个次序统计量 的密度函数为
定理2 在定理1的记号下，次序统计量 的联合分布密度函数为
2.回归模型
2.1截尾情况下回归模型的背景
在线性回归模型中，我们也会遇到截尾的问题，即响应变量或解释变量被另一变量随机截断.考虑如下线性回归模型
其中 是我们关心的寿命， 是 文解释变量， 是 文的未知回归系数, 是随机误差项， 是对应的截断随机变量, 与 独立， . 分别是对应于寿命 和截断随机变量 的分布函数.我们只能观察到 个独立同分布的样本
现在关心的问题是如何构造回归系数的置信区间.通常的处理方法是首先对被截断的数据根据已有数据进行推测,再把推测后得到的样本看作是独立同分布的，采用最小二乘法求得回归系数 ,而 证明了 的渐进正态性，由此可以构造关于回归系数 的置信区间,但是由传统的渐进正态方法构造的置信区间可能存在一些缺点.首先小样本下得到的置信区间性质不够好;其次,不具有很好的保区间性（所谓保区间性即估计值不会超出真实值的可能取值范围）.
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