傅里叶变换在数学物理及工程中的应用(4)
4. 著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段；
5. 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。
本节主要介绍了傅里叶变换早期的产生时代背景和学科背景，以及后期傅里叶变换在工程处理中越来越显重要的地位。通过本节，我们知道，傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它在不同的研究领域具有多种不同的变体形式，具有普适性。所以，在科学研究的许多领域，人们发现傅里叶变换对于问题的求解和简化都特别有用和便捷。
3 傅里叶变换的基本概念
事实上，周期函数只是数学上的描述，对于一切物理过程严格来说都是非周期的。
将前一节的傅里叶分析方法推广到非周期信号中去，就可以导出傅里叶变换（FT）。当信号函数的周期T无限增大时，显然，周期信号就转化成了非周期信号。换句话说，可以把非周期信号看成是周期T趋于无限大的周期信号。为了表达非周期信号的频谱性质，引入一个新的量——频谱密度[3]。对于周期函数的复振幅 ，两边都乘以T，并令T趋于无限大，这个极限量用F(j )来表示，
F(j )= ， (6)
称F(j )为f(t)的频谱密度函数（简称频谱函数）或傅里叶变换（FT）。令T 时， ，记为d ，此时，n ，由离散量变成连续量，有：
(7)
又因为， ，当 ， ，同时将求和符号 换成积分符号 ，于是有： (8)
称 为 的原函数或傅里叶反变换。公式（7）和（8）就是傅里叶变换的两个重要的变换式，前者是傅里叶正变换式，后者是傅里叶反变换式。简记为：
以上是傅里叶变换比较粗略的数学推导。
我们知道，傅里叶变换是一个非常庞大的家族，下表列出了其家族中的主要成员：
变 换 时 域 频 域
连续傅里叶变换（CFT） 连续，非周期性 连续，非周期性
傅立叶级数(CFST) 连续，周期性 离散，非周期性
离散时间傅里叶变换(DFST) 离散，非周期性 连续，周期性
离散傅里叶变换(DFT) 离散，周期性 离散，周期性
表1.傅里叶变换家族中的主要成员
容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之，若连续则意着在对应域的非周期性。
下面，分别针对连续函数和离散函数依次具体介绍几种傅里叶变换。
3.1 连续傅里叶级数变换
傅里叶在1822年发表的论文《热的解析理论》提到的傅里叶级数针对的是连续的周期函数。我们知道，单位复指数信号 是周期信号，即对任意给定的模拟角频率 ，存在正数T，使下式成立
那么，对以T为周期的单位复指数信号 ，可以定义为 (14)
的形式。
周期为T的周期单位冲激信号 ，可以由以T为周期的单位复指数信号 通过加权 求和得到，即：
= (k为整数) (15)
一般的以T为周期的信号 ，由周期卷积的冲激不变性，有 (16)
将式子(15)代入上式，可得
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