定理3.1  若  为对合矩阵，则   ， 也是对合矩阵．

  证明  因为 是对合矩阵，

故 ， 是对合矩阵．

  定理3.2  若存在矩阵 ,既为对称矩阵又为正交矩阵，则 矩阵必然为对合矩阵.

  证明  因为 是正交矩阵，所以

又因为 是对称矩阵，即

将后式带入前式得

则 是对合矩阵.

  定理3.3  以下8个命题是等价的；

（1） 是对合矩阵；

（2） 是 的化零多项式；

（3） ；

（4） ；

（5）

 存 阶矩阵 在数域 上，使得

其中 秩 ；（6）秩 秩 秩 ；

 (7)     ,其中 表示 的列向量所生成的向量空间 的维数；

（8） .

  证明  采用循环证明方法 

  由于 是对合矩阵，则

显然有 ，即 是 的化零多项式；

  因为 ，即 ，于是

  注意到 ， ，且令秩 .则可以从 中取出 个线性无关的列向量，不妨设为 .

又知秩 秩 秩 秩 ，于是秩 ，可见 中至少存在 个线性无关的列向量 .今作向量组 ，故可以证明此向量组线性无关.若不然，则必有