在数学上，凡是含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程。若未知函数是一元，则称为常微分方程。

求解微分方程，就是确定满足给定方程的可微函数 。一个微分方程与其初始条件构成的问题叫做初值问题，求解某初值问题就是求方程的特解。大多数情况下，解析解是不容易求得的，这时就需要用到数值解法。常用的求解微分方程的数值解法有欧拉法、向后欧拉法、梯形法、 方法、龙格库塔法等。

2.龙格库塔方法

2.1 龙格库塔法的原理[4]

单步显式的欧拉法是解决常微分方程初值问题的最简单的数值解法，实际上这种方法用均差来近似导数值，得到的精度并不高。

之后，龙格和库塔在欧拉方法的基础上，为了提高计算公式的精度，提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，简单来说，就是设法在 区间内多预报几个点的斜率值，将这些斜率值加权平均后，把它作为平均斜率的近似，构造出具有更高精度的计算格式，从而得出较多阶的数值公式，这就是龙格库塔法的设计思想。

2.2 龙格库塔公式的推导[5][6]

在自然科学和经济的许多领域中，常常会遇到初值问题

                           (1)

这里 充分光滑， 是给定的初始值， 称为初始条件。

Runge发现把Euler方法应用于初值问题时，得到 的逼近程度并不是很高，如果用梯形求积公式近似，得到的数值解精度会更高[7] 。

Kutta进一步发展思想得到方法：我们需要确定常数,源^自#优尔L文W论/文]网[www.youerw.com ， 及 的值，使以下数值解法

                      (2)         

的局部截断误差满足：

首先将 在 处展成幂级数

将                         

代入(3)式，得

                (4)   

其中 ， ， 分别表示相应函数在点 处的函数值。

由上式得

       (5)

利用二元函数的泰勒展开式，将函数 在 处展开成

    (6)

代入(5)式，得

          (7)

在局部截断误差的前提假设 下，有：

    （8）

要使局部截断误差 ，当且仅当

不妨取 ，可得二阶Runge-Kutta公式为

二阶Runge-Kutta公式的局部截断误差为 

从二阶二段Runge-Kutta公式的推导可以看出，二段方法每一步需要计算两次函数值，而它也只能达到二阶精度。如果我们提高函数的计算次数，就可以得到精度更高的计算公式，高阶的龙格库塔公式的推导与二阶方法的推导完全相同，它的基本思想是通过增加计算 的次数来提高问题的精度。