本文在查阅文献的基础上，针对初等几何中的最值问题，对最值问题进行探讨，并对求解方法进行了系统的分类整理归纳，对几何最值问题的求解方法进行了分类总结.整理出常见几种最值问题的求解方法，使学生求解时更清晰明了，并对数学研究具有一定的实用价值.

1预备知识

1.1几何最值的概念

    所谓几何最值问题就与几何量相关联的函数最值问题，而函数最值是指一个函数在特定区间上的的最大值或者是最小值，如果一个函数在特定邻域内每一处都有确定的值，而该点处的值是最大（小），即说明此点处的函数值是一个最大值或者最小值.类比于几何中，就是我们要讨论的最值问题.

1.2几何最值问题的分类

    1.2.1按最值类型分类

    线段最值：圆锥曲线的不定弦问题、弦心距的最值问题、点线问题中的“和最小”、“差最大”问题.

    面积最值：周长固定求面积最值、圆锥曲线中定点、顶点与动点的面积极值问题.

    体积最值：内接图形体积的最大值、外接图形体积的最小值或者时实际问题中用料最省问题.

    1.2.2按解题方法分类

    代数法：在处理解析几何的中的最值问题时，如目标与条件有明确的互动函数关系时，可以考虑用代数知识来解决，代数法求解最值问题有分为以下几类利用二次函数求最值、用单调性求最值、利用判别式求最值、利用不等式求最值等等.

主元变换思想求最值：利用三角函数的主元变换思想根据三角函数恒等变换的性质及公式把复杂的三角函数问题转化为单一的三角函数问题以方便求解.

几何性质求最值：若题目中的条件与结论能蕴含特定的几何特征及几何意义，那我们可以借助几何图形，利用几何性质及几何意义来解决最值问题.

1.3求解最值问题常用定理,源^自,优尔"文'论.文]网[www.youerw.com

依据欧几里得几何公理体系可知以下定理：

定理1  两点之间的距离以线段最短.

    定理2  线段垂直平分线上任意一点到这个线段两端点的距离是相等的.

    定理3  底边和顶角一定的三角形中，等腰三角形的面积最大.

    定理4  关于直线对称的两点到直线的距离是相等的.

    定理5  关于对称的两点，直线上任意一点到这两点的距离是相等的.

    定理6  两平行线间的距离，以垂线段最短.

    定理7（等周定理）

   （1）周长一定的所有图形中，圆形的面积最大;面积一定的所有图形中，圆形的面积最小.

   （2）周长一定的n边形中，正n边形的面积是最大的;面积一定的n边形中，正n边形的周长是最小的.

   （3）周长一定的情况下，所有的矩形中正方形面积最大.

2.几种常见的初等几何最值问题

    虽然最值问题分类方式不同，但我们研究的问题都是相似的，所以本文下面研究的最值问题将从“不同最值类型分类”的方向按“线段最值、面积最值、体积最值”三方面去详细分析最值问题.总结方法与规律.