我们看到在单变量微分理论中,设有函数 ： ,其中 是 的一个子集,而点 ,要对 在 处微分,意思是求导      

可能会想到在多变元情形模仿这个定义,此时 : ,其中 是 的子集合.但这时我们遭遇到一个困难；量 属于 ,而 属于 ,而我们不知道如何用一个 维向量去除一个 维向量.

为解决这个问题,我们先重写一维情形的导数的概念,使得不含向量除法,办法是把在一点 处可微看作是断言函数 在 附近是“近似线性”的.

引理 2.1.2[2]  设 是 的子集, ： 是函数, 并且 ,那么下述两个命题是等价的.

   (1) 在 处可微且 .   (2) .     从上述引理我们看到,导数 可以被理解为数.源^自·优尔~文~论`文]网[www.youerw.com ,它使得当 趋于 时,即使我们用很小的数 去除量 ,所得结果依然很小.更不正式地说,导数是量 ,它使得有近似式

                                                 (2.3)

 这好像与通常的微分概念并没有多大差别,但要点是,我们不再明确地用 去除（或 做分母）.（我们用 去除,因此是可行的.）当我们转向多变元情形 ： ,其中 时,应该仍然使导数是某个量 ,它使得 ,但由于 现在是 维向量,而 是 维向量,再也不能指望 是一个标量,我们要求 是一个线性变换.精确地说：

定义 2.1.3[1] （可微性） 设 是 的子集合, ： 是函数, ,并设  :  是线性变换.如果

                                  (2.4)

那么就说 在 处可微,具有导数 .这里 是 （以 度量测量）的长度：

                                            (2.5)

类似的,我们可以定义出二维情形下导数的概念.

   定义2.1.4  设 是 的子集合, : 是函数, ,并设  :  是线性变换，即 的矩阵.如果