微分中值定理的证明及应用+文献综述
关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理
The provation and the application of the differential mean value theorem
Abstract: The differential mean value theorem, as the important and the core theorem of the differential,is the theoretical basis of the application of differential. It plays an important role in mathematical analysis. This paper describes the historical background of the Rolle mean value theorem、Lagrange mean value theorem and Cauchy mean value theorem firstly.Then gives a variety methods of the provation of them. Lastly, the paper introduces some examples of the application of the theorems. So that people can get deeply understanding.
Key words: Rolle mean value theorem；Lagrange mean value theorem；Cauchy mean value theorem；The structure method of auxiliary function
目 录
摘 要 1
引言 2
1.微分中值定理的背景 3
2.微分中值定理的证明 5
2.1罗尔(Rolle)定理及其证明 5
2.2拉格朗日(Lagrange)中值定理及其证明 6
2.2.1构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 6
2.2.2 用区间套定理证明拉格朗日中值定理 8
2.3柯西(Cauchy)中值定理及其证明 10
2.3.1构造辅助函数证明柯西中值定理 10
2.3.2利用单调性判定定理证明柯西(Cauchy)中值定理 12
2.3.3利用积分中值定理证明柯西中值定理 13
3.微分中值定理的应用 13
结束语 17
参考文献 18
致谢 19
微分中值定理的证明及应用
引言
微分中值定理是讨论怎样由导数 的已知性质来推断函数 所应具有的性质的有效工具，搭起了运用导数知识去研究函数性态的一座桥梁.微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它们之间是特殊与一般的关系：罗尔定理是拉格朗日中值定理 的特殊情况，拉格朗日中值定理是柯西中值定理 的特例.其中拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心定理，故称为微分学基本定理.
人们对微分中值定理的研究,大约经历了二百多年的时间.从费马定理开始,经历了从特殊到一般,从直观到抽象,从强条件到弱条件的发展阶段.人们正是在这一发展的过程中,逐渐认识到微分中值定理应用的普遍性.微分中值定理的发展背景深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新、吐故纳新的过程,是一个由低级向高级发展的过程.在微分中值定理的证明方面文献[5]、[10]、[14]给出了参考，文献[1]、[3]中具体描述了微分中值定理的发展背景及现状.
本文分别对罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的背景做了详细的阐述.在微分中值定理的证明方面，以罗尔定理为基础，引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理及它们的证明思想.文章最后给出了定理的应用，使我们能更加全面、深入地理解微分中值定理.
1.微分中值定理的背景
人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出了抛物弓形的面积.
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