微分中值定理的证明及应用+文献综述(2)
意大利卡瓦列里(Cavalieri)在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.
人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了，按历史发展顺序为：1637年,著名法国数学家费马(Fermat)在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy),他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》(1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理.
罗尔在1691年发表的著作《方程的解法》给出了这样一个事实：“在多项式 + + 的两个相邻根中,方程 + =0至少有一个实根.”这就是现代罗尔定理“ 在闭区间[ , ]上连续,在开区间( )上可导,并且 ,则在( )上至少存在一点 ，使得 =0.”的特例.
最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法加以证明的,和微积分并没有什么联系.我们现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数,“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由意大利数学家贝拉文蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的.
拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理.它是指:“函数 在闭区间 上连续,在开区间( )上可导,则在( )上至少存在一点 ,使得 .”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的,它的最初形式为:“函数 在 和 之间连续, 的最大值为 ,最小值为 ,则 必取 , 中一个值.”
现代形式的拉格朗日定理,是由法国数学家O.博内(O. Bonnet, 1819—1892)在其著作《Cours deCalculDifferentielet integral》中给出的,他是利用罗尔(Rolle)定理,对拉格朗日定理加以证明.
柯西定理是指:设函数 和 在[ ]上都连续,在( )上都可导, 和 不同时为零，并且 ,则存在 ( ),使得
柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广,柯西在《微分计算教程》中给出了最初的柯西定理:“ 和 在[ ]上有连续的偏导数,并且 在[ ]上不为零,这时对于某一点 ∈( ),有 .”
柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理的证明很相似.首先他从导数 = 的正、负号意义出发,证明了 >0时, 在[ ]上单调增加,有 .由此他设 ,且 .设 和 为商 / 在[ ]上的最大值和最小值,柯西证明了: . .则 和 在 上一个非减,一个非增,二者在点 外的值均为零.可知, ，因此 ≤ ≤ .对 / 应用中间值定理,必得点 ，使 = .
微分中值定理有着明显的几何和运动学意义，以拉格朗日(Lagrange)中值定理为例，它的几何意义：一个在闭区间[ ]上连续，在开区间( )内可导的曲线段 ，至少存在一点 ( ),使得曲线在点( )的切线平行于连接曲线段两端点的弦.它的运动学意义：设 是质点的运动规律，则质点在时间区间[ ]上走过的路程为 ,在( )上的平均速度为 ，存在( )的某一时刻 ，质点在 的瞬时速度恰好是它的平均速度.
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