摘要现行的各类学校为本科师范类数学系采用的高等代数课本中所涉及的多项式部分都对有理数域上存在任意次不可约多项式这个事实以及有理数域上不可约多项式的判定方法进行了简单的介绍.其中对有理数域上不可约多项式的判定的方法主要讲述的是艾森斯坦判别法，事实上，艾森斯坦判别法对有理数域上多项式不可约的判定具有局限性，因此本文将对有理数域上不可约多项式判别的方法进行拓展，使解决判别有理数域上不可约多项式的方法系统化.51939

Abstract:   The Advanced algebra using in a lot of Normal college presents the main methods to prove irreducible polynomial in the filed of rational numbers, especially the Eisenstein discriminant method. Obviously, the Eisenstein discriminant method has limitation. In this paper ,I add  other distinguishing methods of determination more systematic in the field of rational number about irreducible polynomial. 

毕业论文关键词：不可约多项式； 有理数域； 判别法

Keyword: Irreducible Polynomial；Field of Rational Numbers；discrimination 

目    录

引言 1

1 关于艾森斯坦判别法 3

1.1艾森斯坦判别法 3

1.2由艾森斯坦判别法衍生出的判别法 3

2 一般判定方法 6

2.1克朗耐克判别法 6

2.2佩龙判别法 6

2.3布朗判别法 7

2.4模 约化判别法（ 为素数） 8

2.5复数性质的判别法 10

3 特殊的证明方法 12

3.1反证法 12

3.2换元法 12

4 结束语 14

参考文献 15

致谢 16

引言

不可约多项式是高等代数中的多项式理论的重要组成部分，而在有理数域上的不可约多项式的判定亦是不可约多项式的重要学习内容.在大学本科阶段的高等代数的学习中，我们认识到了任意次数的不可约多项式的存在，并且介绍了判定不可约多项式的一种重要判别法——艾森斯坦判别法.艾森斯坦判别法的却是一种判别有理数域上不可约多项式的常用方法，下文中将给出详细的介绍.但是除了艾森斯坦判别法法以外，还可以由艾森斯坦判别法判别法衍生出很多艾森斯坦判别法的衍生方法，应对一些不能直接用艾森斯坦判别法判别的多项式的判定.但其本质上还是和艾森斯坦判别法是同样的道理，只不过给出了一条捷径.

    虽然艾森斯坦判别法判定有理数域上不可约多项式是非常实用而简便的方法，但是艾森斯坦判别法仅仅是不可约多项式的充分不必要条件，也就是说，如果我们能找到满足艾森斯坦判别法的素数 ，那么我们可以推断一个多项式是不可约多项式.但是也存在着有理数域上不可约多项式不能找到满足艾森斯坦判别法的素数 ，但他任然是不可约多项式.因此艾森斯坦判别法对不可约多项式的判定有一定的局限性，虽然先前也有学者对除了艾森斯坦判别法外给出了一些更加普遍的判别法，如陈丽的《有理数域上多项式不可约的判定》中，例举了判定不可约多项式的三种方法，主要介绍的方法任然是艾森斯坦判别法以及它的推广.另两种是换元法与反证法.而刘中良的《有理数域上多项式不可约的判定》中对艾森斯坦判别法和克朗耐克判别法进行了简单的介绍，并且补充了其他的方法，拓宽了判别的多项式不可约的的范围，并且使得有理数域上不可约多项式的判定更加系统化.杨明顺在《整系数多项式不可约的判别法》中对艾森斯坦判别法进行了推广，得到了两个有用的判别整系数多项式不可约的方法并且通过实例进行了说明.以上几位研究者对于有理数域上不可约多项式判定的方法的研究还任然局限在艾森斯坦判别法以及艾森斯坦判别法衍生出的一些判别法或者艾森斯坦判别法的推广中.但是以上所列举的根据中外学者总结的一些判定有理数域上不可约多项式的方法都任然具有一定的局限性，要么仅仅是不可约多项式在有理数域上的充分条件而非必要条件，要么仅仅适用于一类特殊的不可约多项式的判定，显然，有理数域上不可约多项式的判定方法远不止这些，当然我国也有研究者对其他的一些方法进行了研究，并且取得了一定的成果.例如我国的彭学梅首先提出应用抽象代数知识对多项式进行模 约化处理，再通过研究多项式的性质，对在有理数域上多项式是否可约作出判定.在国外，B.L.范德瓦尔登在《代数学Ⅰ》源^自·优尔|文\论]文'网[www.youerw.com中提出相关的克朗耐克判别法，这是本次课题研究依据的理论知识之一.除了对一般的多项式进行是否可约的判断之外， 有不少研究者对特殊的不可约多项式的判定进行了整理研究.例如我国的徐蕾蕾，黎爱萍对四次整系数不可约多项式的判定方法进行了总结归纳.在他们的《四次整 系数不可约多项式》一文中通过对四次整系数多项式的系数特性的研究，充分利用了从特殊到一般的方法，给出了一类整系数多项式在有理数域上是否可约的判定定理.又如何俊杰，王付群在《有理数域上二元不可约多项式判别》上将艾森斯坦判别法则推广到二元多项式中，得出两个判断有理数域上二元不可约多项式的判断方法.但是虽然如此，这些方法仅仅是判定一部分有理数域上不可约多项式的方法，具有一定的局限性，还需要总结更多适用于有理数域上不可约多项式判定的一般方法才能更好地解决如何判断有理数域上多项式可不可约这个问题.并且从前人的研究成果来看，大多的研究成果都只给予了有理数域上不可约多项式判定的一类方法或者方法之间的联系，而没有系统地给出有理数域上不可约多项式的判定方法.本次研究力图给出系统的解决方法.