证:取 则易知 为 的两个不同左陪集,且 由于 ,故 .同理, ,故有 ,故 .

3 与循环群相关的结论

引理2 若 为交换群, , ,则 .

证:设 ,易知 ,故有 ,又因为    ,故 ,故 .同理可证 ,再利用 ,可得 ,故 ,故 .

命题4 若 为有限交换群, 为互不相同的素数, ,则 为循环群.

证:由命题2知, 中含有 阶元.不妨设对应的元素为 ,下证 ,对 做数学归纳,当 时,由引理2知结论成立,假设当 时,结论成立,则当 时,由于 为互不相同的素数,由归纳假设 ,又因为 ,由引理2知, ,故 为循环群,结论成立.

命题5 互素的二循环群的直积为循环群

证:设 ,则易知 的阶为 ,由于 ,故 为交换群.又因为 的阶分别为 ,由引理2知, 的阶为 ,故 为循环群.

命题6 任一有限循环群均可以分解成素数幂阶循环子群的直积,但素数幂阶循环群不能分解为两个真子群的直积

证:设 ,其中 为不同的素数,则由命题2知, 有 阶元,不妨设对应的元素为 ,则显然有 ,因为对于 ,由拉格朗日定理的推论知, ,而 ,由于

在循环群中,阶为 的元唯一,故 ,故 ,又因为 ,所以,群 是子群 的内直积.对于素数幂阶循环群,假设 可以表示成两个真子群 的内积,由命题10知,不妨设 ,则 ,矛盾,故结论成立.

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