定性的余项为佩亚诺型余项 ,仅表示余项是 ,即当 时高阶无穷小.

定量的余项为拉格朗日型余项 ( 也可以写成 , ,定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或估计.

2.1  带有佩亚诺(Peano)型余项的公式

定理2.1  若函数 在点 的某邻域存在直至 阶导数,则对此邻域内的点 有

其中, 为佩亚诺型余项, 式称为带有佩亚诺型余项的泰勒

公式.当 时其中 式称为(带有佩亚诺型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.

2.2  带有拉格朗日(Lagrange)型余项的公式

定理2.2   若函数 在 上存在直至 阶连续导数,在 内存在直至 阶导数,则对任意给定的 , ,至少存在一点 使得

其中, 称为拉格朗日余项, 式称为(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式.

注意到当 时,有源'自:优尔`!论~文'网www.youerw.com

此式即为拉格朗日中值公式,所以泰勒定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广.

3  泰勒公式的应用

3.1  利用泰勒公式求近似值

当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出近似值时,这时泰勒公式是解决这种问题的一个好方法.

例1  计算 准确 .

解 利用

当 =1时有            ,

故 < ,显然当 时,可得 .

3.2  利用泰勒公式求极限

对于待定型的极限问题,一般可以利用洛比达法则来求解,但是,对于一些求导比较繁琐,计算复杂,特别是要多次使用洛比达法则的情况,利用泰勒公式求极限会简单很多.利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并且采用带佩亚诺型余项的泰勒公式 .当极限式为分式时,一般要求分子和分母展成同一阶的麦克劳林公式,通过比较求出极限.

例2  用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限 .

解  当 时, ,由泰勒公式知

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