2.2   变量可分离方程

 形如               (1.1)              

                      或                             (1.2)

的方程,.称为变量分离方程. 我们分别把（1.1）（1.2）称为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程.

2.3   齐次方程

    类型一   如果一阶显式方程

                                                            (1.3)

的右端函数 能够改写成函数 ，那么称方程（1.3）为一阶齐次微分方程.

    类型二   形如

                       ,                             (1.4)                     

的方程不能直接采用变量分离, 但是可以通过变量转换后化为变量分离方程, 这里 , , , , , 均是常数.

2.4   一阶线性微分方程

    1. 一阶线性微分方程的形式是    （1.41）

    如果 ，即  （1.42）

那么称它为一阶线性齐次方程.若 不恒为零，那么称（1.41）为一阶线性非齐次方程.

    2.伯努利方程

    形如     （1.43）

的方程，称为伯努利方程，是一种非线性的一阶微分方程.

2.5   全微分方程及积分因子

    如果微分形式的一阶方程      （1.5）

的左端恰好是一个一元二次函数 的全微分，即

                     ,                       （1.6）

则称（1.5）是全微分方程或恰当微分方程，而函数 称为微分式（1.6）的原函数.

 如果存在连续可微函数 , 使得

成为一全微分微分方程,我们则把 为方程 的一个积分因子.

3   基本解法源'自:优尔-'论/文'网"www.youerw.com

3.1   变量可分离方程

3.1.1    类型一

形如  .

    解法：1、当 时，经变换可得到 ，再两边积分可得到 .

    2、当 时，则有根 ，因此很容易检验出， 也是此微分方程的一解，当然，有的时候不论我们把通解的表达式中的任意常数，进行怎样的扩充，这个解也都不包含在其中，所以在解题时，就需要我们自己另行补充上，千万不能漏掉.

3.1.2    类型二

    形如  .

    解法：1、当 时，经变换可得到 ，再两边积分可得结果；

    2、当 时， 为原方程的解，当 时， 为原方程的解.

3.2  齐次方程

3.2.1    类型一

   形如    .

    解法：先令 ，则有 ，将其代入原方程得到 ，从而化成了变量可分离方程，再整理得到 ，于是得到关于 的方程，然后再把 = 代入得到 .

3.2.2    类型二

   形如   .

    解法：令 ，则 ，代入得到 为变量可分离方程，得到 再把u代入得到 .