3 反证法的适用范围

我们知道，若一个数学命题形如“若A则B”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.

3.1 否定性命题源Y自:优尔W.论~文'网·www.youerw.com

否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.

例1 设 、 是公比不相等的两个等比数列. ，证明数列 不是等比数列.

证明 假设 是等比数列.则  ,即

整理得到 

因为  ， 是等比数列，所以   ,  .由 式可得 

设   ,  ，则 

因为   ，所以   .即   ，所以   与已知条件两个等比数列公比不相等矛盾.所以 不是等比数列.

分析 在这题中要求证明 不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设 是等比数列，一个数列是等比数列是有条件的，这使得证明变得有迹可循.

3.2  限定性命题

限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.

例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.

证明 假设44位同学分成 组， 且  .因为任意两组人数不相等，所以  个小组的同学总共至少有人数为

 .

因为 ，所以总共人数   人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 至多分成8组.

例3 设 ,则 ， ， 至少有一个不大于 .

证明 假设 ， ， 都大于 .即

将三个式子相加，得

 + + .                      （1）

又因为  ,  , .将三个式子相加，得

 + +  .                       （2）

结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以 ， ， 至少有一个不大于 .

3.3 无穷性命题

无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.