2  预备知识

定义2.1  设 为一个时间测度，它是实数域的任意非空闭子集,对任意 ,映射 ，定义为

                          ,则称 为前跳算子；而后跳算子 ，定义为:                               .   

Graininess函数(前跳距离) 定义为:                                  ．                                                                               

对任意一个 ，若 ，则称 是右离散的，若 ，则称 是右致密的；对于一个 ，若 ，则称 是左离散的，若 ，则称 是左致密的； 的两侧同时为离散点时，则称 是孤立点．

定义2.2  设函数 ，存在 ，对任意 ，存在 的邻域 (即 )，对一切 都有

成立．则称函数 在 可微，并称 为函数 在 的导数，记为 ．

定义2.3  设函数 ，若它在 中的一切右致密点上连续，且在一切左致密点上它的左极限存在且有限，则称函数 为正则连续函数，也叫 连续函数． 连续函数 的集合，记为:

引理2.1  设 一个常数， ,则下列命题成立:

  若对任意的 ，都有 ，则 ．源[自*优尔^`论\文'网·www.youerw.com/

引理2.2  设 ，函数 ，则下列命题成立:

  若 ，则有

                            ,

其中等号右边的积分通常是黎曼积分．

　　  若 只包含离散点，则有

                               .

      若 ，其中 ，则有

                               .

      若 ，则有

                                 .

引理2.3  令 ,设 ,且 ， 为 上的凸函数，则

                       .

3  时标上的闵可夫斯基不等式

   引理3.1[6]  设 在 上可积， ，则

                .

引理3.2[3]  设 且 是 上离散的点， ， 为 上的连续函数，则

            .

推论3.1  设 ，函数 在 上 连续，则对 有

             .

证明  因为函数 在 上是 连续的，所以 ， 和 在 上可积，从而令

                         ,

由引理2.1可知     推论3.2  设 ，函数 ，且 ， 在 上 连续，若 只包含离散点，则闵可夫斯基不等式为