摘 要：本文总结了常微分方程的几类常用求解技巧，并且举例说明其求解技巧的适用范围．

毕业论文关键词：常微分方程，参数，分离变量，积分因子61350

Abstract: In this paper, we summarize several common solving skills of ordinary differential equations, and give the examples to illustrate their scopes of applications．

Keywords: Ordinary differential equations ,parameters , separation of variables, integrating factor 

1 引言 4

2 变量分离法 4

2．1 变量可分离方程 4

2．2 齐次方程 5

3 常数变易法 6

3．1 一阶线性方程 6

3．2 伯努利方程 7

4 积分因子法 7

4．1 全微分方程 8

4．2 积分因子的选取 8

5 参数法 10

5．1 一阶隐式微分方程 10

6 降阶法 11

6．1 形如 的方程 11

6．2 形如 的方程 11

6．3 恰当导数方程 12

参考文献 14

结 论 15

致　谢 16

1 引言

    在常微分方程概念出现后，人们对常微分方程的研究分为几个阶段：初期为“求通解”时代；早期为“求定解”时代；到19世纪末就进入了“求所有解”的新时代；再到20世纪六七十年代以后发现了具有新性质的特殊的解和方程，迎来了“求特殊解”的时代[1]．

    常微分方程是数学里的一个重要学科，许多的数学家对它在数学中的地位的评价都很高，是数学中与应用密切相关的基础学科，其他各个领域也逐渐应用常微分方程来解决一些实际问题．在实际应用中，解决实际问题的一个重要工具就是常微分方程，从而如何对常微分方程进行求解就变得异常重要，对求解技巧的归纳也有一定的实用性．因此，本文就对常微分方程的一些常见方程所用求解技巧进行分析，并更深一步地研究常微分方程的求解技巧．

2 变量分离法

对于一阶可进行变量分离的常微分方程而言，一般先将自变量、自变量的微分和因变量、因变量的微分分别置于方程的两边，再对方程两边分别进行积分，便可求出方程的通解．

2．1 变量可分离方程源:自'优尔.·论,文;网·www.youerw.com/

   形如  或  的方程，称为变量可分离方程．其中我们分别称前者为显式变量可分离方程，后者为微分形式变量可分离方程[2]．

   如 ， 为变量可分离方程．

2．1．1 显式变量可分离方程变量

     可化为 形式， 

像这种形式的方程被称为恰当方程，容易求得它的一个通积分为

2．1．2 微分形式变量可分离方程

     可化为 ，此方程也形如恰当方程，该方程的通积分可用相同方法便能求出．

    但是在求常数解时，若 ，则 是方程的一个解；若 ，则 也是方程的一个解．

2．2 齐次方程

2．2．1 一阶齐次微分方程