Stolz定理及其应用+文献综述(3)
(1) 为有限数 对任意给的 ,存在 ,使得当 时,有
由假设知,函数 在 上单调增加, ,于是有
由此可知,对任意自然数 ,下列不等式成立.即
将这 个不等式两边相加,得
同时除以 ,得 (2)
式(2)对任意 及任意的自然数 均成立,特别当 满足 时,当然也成立.
现在任取实数 ,则 ,由带余除法有等式 ,其中, , 为某个自然数.于是 ，
显然 令 ,则
上述表明,对任何大于 的实数 ,都可表为某个在 中的实数 与一个自然数 的和.将不等式(2)的 取作这里的 并取 就有不等式
由假设(ii)知,存在正数 ,使 ,且当 时, .
对于 及 ,则
因此有 (4)成立.
对任取的 ,由前面的论述知,有 使不等式(3)成立.对这样的 ,不等式(4)当然成立.
于是由假设(ii)首先有
其次,当 时,由假设知 有界,故有 使 ;又因函数 是单调增加的,故有 ,使 ,因此有