右导数与左导数统称为单侧导数.

若函数 在点 的某邻域内有定义，则 存在的充要条件是在点 处的左右导数存在且相等. 

3  常见导数问题的类型

3.1 切线问题

切线问题 是高考数学中导数最基本的问题之一，在近三年的全国高考题中，这一类型的题目在这三年高考导数问题全部类型题目中的比重约为16%（以下说的比重与此处类似）.对此只需要利用导数的定义与几何意义求解便可.文献综述

例3.1（2013全国卷 ）设函数 .若曲线 和曲线 都过点  ,且在点 处有公切线 .求 的值.

   解 由题意得

 ， ， ， .

而

 ， ，

代入上式得 ， ， ， ,从而有 ， ， ， .

注:切线问题还可参考下面例3.3的(2)、(3)小问.

3.2  单调性问题 

函数的单调性问题也是导数在高考中的常见问题，相应的比重约为19%.一般这一类型的题目大多就是利用函数单调性的性质，即在定义域上求其导函数 的根，再根据所求结果将函数分成若干个单独的小区间，如果要证明单调性或求单调区间，只需在每个小区间上证明导函数的正负性.当然偶尔也会用到分类讨论或者构造函数的方法，但是都特别简单.

例3.2（2014江西）已知函数  .

（1） 当 时，求 的极值；

（2） 若函数 在区间 上单调递增，求参数 的取值范围.

解 (1)当 时， 

 ，

由 得 或 .

当 时， ，则函数 单调递减；

当 时， ，则函数 单调递增；

当 时， .则函数 单调递减.

故函数 在 时取极小值,且值为 ，在 时取极大值,值为 .

（3） 易求得来.自/优尔·论|文-网·www.youerw.com/

 ，

因为当 时， ，则由题意可知，当 时，有

 ，

从而

 ,

则 的取值范围为 .

  例3.3 (2013四川)已知函数

 ，

( 为实数).点  是所给函数图像上的两个点，并且 .

（1）求函数 的单调区间；

（2）若函数 在点 和点 处的两切线相互垂直，且有 ，求 的最小值；

（3）若函数 在点 和点 处的两切线相互重合，求参数 的范围.     

解 (1)当 时有

 ，

则 时有 ， 时有 ；当 时有 ，

由上可得函数 的函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .

（2）由 ， 两点的切线相互垂直，则有等式 ，

由于

 ，

且由 可得

 ，

则有 ， ，此时 

   .

由不等式性质可知,当且仅当 即当 ， 时等号才会成立，