摘　要:本文主要研究了留数在一些积分计算中的应用.利用留数与积分的关系，可以把一些复杂的积分计算转化成简单的留数计算，从而简化计算. 65454

毕业论文关键词:留数，留数定理，奇点，洛朗级数

Abstract: In this paper，we mainly studies the application of residue calculation in some aspects. We can simplify calculate by transforming complex Integration calculations into a residue simple calculation with relationship of residue and integral. 

Keywords：the residue， the residue theorem， singularity， laurent series

目  录

1  前言 4

2  预备知识 4

2.1  留数的定义及留数定理 4

2.2  留数的求法 4

3  留数在复变函数积分计算中的应用 5

4  留数在实变函数积分计算中的应用 7

4.1  计算 类型的积分 7

4.2  计算 型积分 8

4.3  计算 类型的积分 9

4.4  计算 类型的积分，其中 在复平面上只有有限个孤立奇点，除了这些孤立奇点外 处处解析 10

5  杂例 10                                                          

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1  引言

留数又称残数，是复变函数论中一个重要的概念. 是解析函数 沿一条正向简单闭曲线的积分值. 它和计算周线积分的问题有密切关系. 留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分. 

在积分计算中一些被积函数的原函数往往难以求出，或者不能够用初等函数表示出来，有些原函数虽然能够求出，但是非常复杂.而在实际问题中，不得不求出这些复杂的积分，从而继续下面的研究. 这时，就可以利用复变函数中的留数来进行计算.根据复变函数中的留数定理，要计算某些积分，只需计算出一些解析函数在孤立点的留数，由于留数的计算较为简便，这样就把问题大大化简了.但目前留数只在一些特殊情况下，可以简化积分计算.本文就是探究总结一些可以利用留数计算积分的特殊题型.文献综述

例如在复积分计算中的一些应用，以及在几类是积分计算中的计算. 本文将通过不同的题型来分析总结出这类题型所具备的特征和解题方法，从而达到简化积分计算的目的.

2  预备知识

2.1  留数的定义及留数定理

   定义1  设函数 以有限点 为孤立奇点，即 在点 的某个去心领域 内解析，则称积分

为 在点 的留数，记为 . 来.自/优尔·论|文-网·www.youerw.com/

   引理1(留数定理)  在周线或复周线 所范围的区域 内，除 外解析，在区域 除 外连续，则

 . 

2.2  留数的求法

为了利用留数定理求周线积分，必须要先掌握留数的求法. 而计算在孤立奇点 的留数时，我们只看它的洛朗展式中的 这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法. 而求 阶极点处留数，如果利用一般方法，那么每求一个极点处的留数都要去求一次洛朗展式，所以我们可以利用下面的定理是求 阶极点处留数的公式，来简化计算. 不过这个公式对于阶数过高的极点，计算起来也未必简单.